Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 15 стр.

                                                                                                                    14

лов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу
времени).
       Решение. Из предыдущего примера следует, что в среднем первый узел исправно ра-
ботает долю времени, равную p0 + p2 = 0,4 + 0,27 = 0,67 , а второй узел –
 p0 + p1 = 0,4 + 0,2 = 0,6 . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю
времени, равную p1 + p3 = 0,2 + 0,13 = 0,33 , а второй узел – p2 + p3 = 0,27 + 0,13 = 0,4 .
Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность
между доходами и затратами, равен
                     Д = 0,67 ⋅ 10 + 0,6 ⋅ 6 − 0,33 ⋅ 4 − 0,4 ⋅ 2 = 8,18 ден. ед.
       Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов будет означать увели-
чение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла. Это следует из ра-
              1
венства a =       для показательного распределения (потоков) с параметром                                λ , о котором
              λ
упоминалось ранее. Напомним, что a – это математическое ожидание случайной величины
T – промежутка времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем
потоке. Таким образом, теперь интенсивности потоков событий будут равны: λ10 = 4,
λ20 = 6, λ31 = 6, λ32 = 4 (остальные остались прежними). При этом система линейных ал-
гебраических уравнений (6), описывающая стационарный режим системы S , вместе с нор-
мировочным условием примет вид:
                                      ⎧3 p0 = 4 p1 + 6 p2 ,
                                      ⎪6 p = p + 6 p ,
                                      ⎪ 1        0     3
                                      ⎨
                                      ⎪7 p2 = 2 p0 + 4 p3 ,
                                      ⎪⎩ p0 + p1 + p2 + p3 = 1.
       Решив систему, получим p0 = 0,6, p1 = 0,15, p2 = 0,2, p3 = 0,05 .
       Учитывая, что p0 + p2 = 0,6 + 0,2 = 0,8 , p0 + p1 = 0,6 + 0,15 = 0,75 , p1 + p3 =
0,15 + 0,05 = 0,2 , p2 + p3 = 0,2 + 0,05 = 0,25 , а затраты на ремонт первого и второго уз-
лов составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим средний чистый доход в еди-
ницу времени:
                      Д1 = 0,8 ⋅10 + 0,75 ⋅ 6 − 0,2 ⋅ 8 − 0,25 ⋅ 4 = 9,9 ден. ед.
                                                          9,9 − 8,18
      Так как Д 1 больше Д примерно на 21% (                         ⋅ 100% ≈ 21% ), то экономиче-
                                                             8,18
ская целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

                                     Процессы гибели и размножения

      В теории массового обслуживания широко распространен специальный класс случай-
ных процессов – так называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с
рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения
численности биологических популяций.
      Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рисунке 7.
                                                          λ k −1, k            λ k , k +1
                  λ 01        λ 12           λ 23
                                                       ...                                  ... λ   n −1, n
           S0            S1             S2             ...                Sk                ...               Sn
                  λ 10        λ 21            λ 32           λ k , k −1        λ k +1, k       λ n , n −1
                                                     Рисунок 7.