Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 17 стр.

                                                                                               16

                                                      λk −1, k ...λ12 λ01
                                              pk =                        p .           (13)
                                                      λk , k −1...λ21λ10 0
Обратим внимание на формулы для вероятностей p1 , p2 ,..., pn : числители представляют со-
бой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (от нача-
ла и до данного состояния S k ); знаменатели – произведения всех интенсивностей, стоящих у
стрелок, ведущих справа налево (из состояния S k и до начала).
          Таким образом, все вероятности состояний p0 , p1 , p2 ,..., pn выражены через одну из
них ( p0 ). Подставим эти выражения в нормировочное условие (10). Получим, вынося за
скобки p0 :
                          ⎛ λ      λ λ           λ ...λ λ ⎞
                      p0 ⎜⎜1 + 01 + 12 01 + ... + n−1, n 12 01 ⎟⎟ = 1 ,
                          ⎝ λ10 λ21λ10           λn , n−1 ...λ21λ10 ⎠
откуда можно получить выражение для p0 :
                                                                                −1
                                    ⎛ λ      λ λ           λ ...λ λ ⎞
                              p0 = ⎜⎜1 + 01 + 12 01 + ... + n−1, n 12 01 ⎟⎟ .           (14)
                                    ⎝ λ10 λ21λ10           λn , n−1 ...λ21λ10 ⎠
Заметим, что слагаемые в правой части (14) представляют собой не что иное, как последова-
тельные коэффициенты при p0 в формулах для вероятностей p1 , p2 ,..., pn .

                                              СМО с отказами

       В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
     6
 A – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых
в единицу времени;
Q 7 – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, об-
служиваемых системой (или вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена);
Pотк – вероятность отказа – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной;
k – среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).
       1.Одноканальная система с отказами. Рассмотрим следующую задачу. Имеется
один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ . Поток обслуживаний
имеет интенсивность μ . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее
эффективности.
       Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что все потоки событий, переводящие
СМО из состояния в состояние, – простейшие. К ним относится и поток обслуживаний – по-
ток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Поскольку среднее время
между двумя произвольными соседними событиями простейшего потока обратно по величи-
не интенсивности потока, а для потока обслуживаний это время есть время обслуживания
(одной заявки), то среднее время обслуживания Tоб = 1 μ .

                                                             λ
                                                 S0                    S1
                                                            μ
                                                        Рисунок 8.
6
    A – первая буква английского absolute – абсолютный.
7
    Q – первая буква английского quota – доля, часть, квота.