Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

23
а учитывая, что в этом случае )2(1
0
+
=
mp и
2
)1(
1
+
=
∑
=
mm
j
m
j
(сумма m членов арифме-
тической прогрессии), окончательно получаем
)2(2
)1(
)(
+
+
=
m
mm
kM
)1(
=
ρ
.
Итак, среднее число заявок в очереди
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+
≠
−−
−+−
=
+
.1,
)2(2
)1(
;1,
)1)(1(
)1(1
2
2
ρ
ρ
ρρ
ρρρ
если
m
mm
если
mm
L
m
m
оч
(21)
Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки
в очереди
оч
T . Пусть
оч
T
– непрерывная случайная величина, представляющая собой время
ожидания заявки в очереди. Среднее время ожидания заявки в очереди вычислим как мате-
матическое ожидание этой случайной величины:
)(
очоч
TMT
=
.
Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой полного мате-
матического ожидания: если об условиях опыта можно сделать n (попарно) несовместных
гипотез
n
HHH ,...,,
21
, то полное математическое ожидание случайной величины X может
быть вычислено по формуле
)|()()(
1
k
n
k
k
HXMHPXM
∑
=
= ,
где )|(
k
HXM – условное математическое ожидание величины X при гипотезе
k
H
[Вентцель, Овчаров «Прикладные задачи теории вероятностей». – М.: Радио и связь, 1983,
с.77].
Рассмотрим 2+m несовместных гипотез
k
H , 1,...,1,0 +
=
m
k
, состоящих в том, что
СМО находится соответственно в состояниях
k
S
, 1,...,1,0
+
=
m
k
. Вероятности этих гипо-
тез
kk
pHp =)( , 1,...,1,0 += m
k
.
Если заявка поступает в СМО при гипотезе
0
H , т.е. когда СМО находится в состоя-
нии
0
S
, в котором канал свободен, то заявке не придется стоять в очереди и, следовательно,
условное математическое ожидание )|(
0
HTM
оч
случайной величины
оч
T при гипотезе
0
H ,
совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе
0
H , равно ну-
лю.
Для заявки, поступившей в СМО при гипотезе
1
H
, т.е. когда СМО находится в со-
стоянии
1
S , в котором канал занят, но очереди нет, условное математическое ожидание
)|(
1
HTM
оч
случайной величины
оч
T при гипотезе
1
H , совпадающее со средним временем
ожидания заявки в очереди при гипотезе
1
H
, будет равно среднему времени обслуживания
одной заявки
μ
1=
об
T .
Условное математическое ожидание
)|(
2
HTM
оч
случайной величины
оч
T
при гипо-
тезе
2
H , т.е. при условии, что заявка поступила в СМО, находящуюся в состоянии
2
S , в ко-
тором канал занят и в очереди уже ждет одна заявка, равно
μ
2 (удвоенному среднему вре-
                                                                                                  23

                                                           m
                                                                    m(m + 1)
а учитывая, что в этом случае p0 = 1 ( m + 2) и            ∑j=
                                                           j =1       2
                                                                             (сумма m членов арифме-

тической прогрессии), окончательно получаем
                                               m(m + 1)
                                    M (k ) =                      ( ρ = 1) .
                                               2( m + 2)
        Итак, среднее число заявок в очереди
                                       ⎧ ρ 2 (1 − ρ m (m + 1 − mρ ) )
                                       ⎪ (1 − ρ )(1 − ρ m+ 2 )        , если     ρ ≠ 1;
                                       ⎪
                                 Lоч = ⎨                                                        (21)
                                       ⎪ m(m + 1) ,        если ρ = 1.
                                       ⎪⎩ 2(m + 2)
       Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки
в очереди Tоч . Пусть Tоч – непрерывная случайная величина, представляющая собой время
ожидания заявки в очереди. Среднее время ожидания заявки в очереди вычислим как мате-
матическое ожидание этой случайной величины:
                                               Tоч = M (Tоч ) .
       Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой полного мате-
матического ожидания: если об условиях опыта можно сделать n (попарно) несовместных
гипотез H 1 , H 2 ,..., H n , то полное математическое ожидание случайной величины X может
быть вычислено по формуле
                                                    n
                                        M ( X ) = ∑ P( H k ) M ( X | H k ) ,
                                                   k =1

где M ( X | H k ) – условное математическое ожидание величины X при гипотезе H k
[Вентцель, Овчаров «Прикладные задачи теории вероятностей». – М.: Радио и связь, 1983,
с.77].
       Рассмотрим m + 2 несовместных гипотез H k , k = 0,1,..., m + 1 , состоящих в том, что
СМО находится соответственно в состояниях S k , k = 0,1,..., m + 1 . Вероятности этих гипо-
тез p ( H k ) = pk , k = 0,1,..., m + 1 .
        Если заявка поступает в СМО при гипотезе H 0 , т.е. когда СМО находится в состоя-
нии S 0 , в котором канал свободен, то заявке не придется стоять в очереди и, следовательно,
условное математическое ожидание M (Tоч | H 0 ) случайной величины Tоч при гипотезе H 0 ,
совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе H 0 , равно ну-
лю.
      Для заявки, поступившей в СМО при гипотезе H 1 , т.е. когда СМО находится в со-
стоянии S1 , в котором канал занят, но очереди нет, условное математическое ожидание
M (Tоч | H 1 ) случайной величины Tоч при гипотезе H 1 , совпадающее со средним временем
ожидания заявки в очереди при гипотезе H 1 , будет равно среднему времени обслуживания
одной заявки Tоб = 1 μ .
      Условное математическое ожидание M (Tоч | H 2 ) случайной величины Tоч при гипо-
тезе H 2 , т.е. при условии, что заявка поступила в СМО, находящуюся в состоянии S 2 , в ко-
тором канал занят и в очереди уже ждет одна заявка, равно 2 μ (удвоенному среднему вре-

Страницы