Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 27 стр.

                                                                        27
                                     r r
                                    М2

                               A = ∫ F ⋅ dr .         (1)
                                    М1

     В общем случае работа зависит от формы и длины пути от М1 до М2.
     Мы будем иметь дело только с потенциальным полем (в котором
работа по перемещению не зависит ни от формы, ни от длины пути от М1
до М2, а зависит только от координат этих точек), следовательно, работа в
потенциальном поле, совершаемая по замкнутому пути, равна нулю.
     Сформулированное свойство потенциальных полей математически
означает следующее. Подынтегральное выражение в (1) равно взятому со
знаком минус полному дифференциалу функции E P (r ) , которая
называется потенциальной энергией системы:               dA = − dE P (r ) .
     Таким образом, потенциальная энергия – это физическая величина,
элементарное изменение которой равно (взятой со знаком минус)
элементарной работе, совершаемой силами поля. Интегрируя последнее
соотношение от М1 до М2, получим :
                   A12 = E P1 − E P2 = − ( E P2 − E P1 ) .       (2)
     Отсюда вытекает, что физический смысл имеет лишь разность
потенциальных энергий. Условимся считать, что когда тело находится на
бесконечности ( r = ∞ ), то его потенциальная энергия равна нулю. Тогда
под потенциальной энергией E P ( r ) следует понимать работу,
совершаемую силами поля при перемещении тела из данной точки поля в
бесконечность.
     Кинетической энергией называют энергию, зависящую от скорости
движения тела.
     Всякое движущееся тело может производить работу. Кинетическая
энергия определяется работой, которую может совершать тело вследствие
того, что оно обладает определенной скоростью.
     Пусть в начальной точке пути скорость стала равной v1, а в конечной
                                                                    r
                                                                   dv r
точке пути v2. Выражение для второго закона Ньютона m                 =F
                                                                   dt
                                    r        r r
               r       r           dv r
умножим на dr = vdt :            m vdt = Fdr . Получим
                                   dt
                                 r r
                               ( Fdr ) = Fdr cos α = dA ,
            v r
где α = ∠ ( F , d r ) , dA – элементарно малая работа на малом участке
                   r       r                    r r
dr. Так векторы v и dv сонаправлены, то dv ⋅ v = dv ⋅ v . Тогда:
                            dA = mv ⋅ dv .
     После интегрирования получим работу А12: