Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕИ КФУ | Елабуга

Составители: 

Рубрика: 

45
По этой же формуле вычисляется момент инерции однородного
обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и
проходящей через его центр.
2. Момент инерции сплошного однородного
кругового цилиндра массы m и радиуса R
относительно его оси (рис.17.2).
Разобьем мысленно цилиндр высотой Н на очень
большое число соосных тонкостенных цилиндров,
выделим один радиуса
r. Его момент инерции:
dI r dm r r Hdr r Hdr
0
22 3
22== =
πρ πρ
,
так как
dm dV HdS r Hdr
=
=
=
ρ
ρ
π
ρ
2 .
IrHdr HrdrRH
RR
0
3
0
3
0
4
22
1
2
===
∫∫
πρ πρ πρ
но
mV RH==
ρρπ
2
, поэтому:
ImR
0
2
= /2
.
По этой же формуле вычисляется момент инерции однородного диска
относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей
через его центр.
3. Момент инерции стержня
относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через центр масс
(рис.17.3.)
Разобьем стержень на малые
элементы. Пусть х – расстояние до оси, dx–
длина элемента. Момент инерции этого
элемента:
dI x dm x Sdx
0
22
==
ρ
I x dm x Sdx x Sdx x Sdx S
lml
m
ll l
0
22
0
2
2
0
2
2
0
2
3
2
2
2
32 12
== + = =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∫∫ ∫ ∫
()
ρρ ρρ
так как
mV lS
=
=
ρ
ρ
. Итак,
Iml
0
2
12= /
.
Если ось вращения параллельна данной и проходит через один из
концов стержня, то для нахождения момента инерции воспользуемся
теоремой Штейнера:
II md=+
0
2
.
В данном случае
d
l
=
/2, а Iml
0
2
12= / , тогда
II md
ml ml ml ml
=+=+=
+
=
0
2
22 2 2
12 4
31
12 3
()
.
Следовательно, момент инерции при таком переносе оси вращения
увеличился в 4 раза.
R
r dr
Рис.17.2
(
Sl<<
)
−
l
2
dx
l
2
S
x x+dx
Рис. 17.3.
                                                             45
     По этой же формуле вычисляется момент инерции однородного
обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и
проходящей через его центр.                              R
     2. Момент инерции сплошного однородного
кругового цилиндра массы m и радиуса R
относительно его оси (рис.17.2).                        r dr
     Разобьем мысленно цилиндр высотой Н на очень
большое число соосных тонкостенных цилиндров,
выделим один радиуса r. Его момент инерции:        Рис.17.2
dI 0 = r 2 dm = r 2 2πrρHdr = r 3 2πρHdr ,
так как dm = ρdV = ρHdS = 2πrρHdr .
                                    R                                 R
                                                                          1 4
                       I 0 = ∫ r 3 2πρHdr = 2πρH ∫ r 3 dr =                 R πρH
                                    0                                 0   2
                                                          2

но m = ρV = ρπR H , поэтому: I 0 = mR /2 .
                           2


     По этой же формуле вычисляется момент инерции однородного диска
относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей
через его центр.
     3.     Момент      инерции     стержня
относительно       оси,    перпендикулярной ( S << l )
стержню и проходящей через центр масс         − l                 l
(рис.17.3.)                                       2            dx 2
     Разобьем      стержень      на   малые S
элементы. Пусть х – расстояние до оси, dx–                   x x+dx
длина элемента. Момент инерции этого                Рис. 17.3.
элемента: dI 0 = x 2 dm = x 2 ρSdx
                   l                      l                   l                     3
                       2                      2                   2
                                                                           2 ⎛ l⎞    ml 2
 I0 =    ∫ x dm = ∫ x ρSdx + ∫ x ρSdx = 2 ∫ x ρSdx =                        ρS ⎜ ⎟ =
               2               2             2    2

        ( m)       0                      0                   0            3 ⎝ 2⎠    12
так как m = ρV = ρlS . Итак, I 0 = ml / 12 .
                                                      2


     Если ось вращения параллельна данной и проходит через один из
концов стержня, то для нахождения момента инерции воспользуемся
теоремой Штейнера: I = I 0 + md 2 .
    В данном случае d = l / 2 , а I 0 = ml 2 / 12 , тогда
                                   ml 2 ml 2 (3 + 1) ml 2 ml 2
    I = I 0 + md 2 =                   +    =            =     .
                                   12    4       12        3
    Следовательно, момент инерции при таком переносе оси вращения
увеличился в 4 раза.

Страницы