Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕИ КФУ | Елабуга

Составители: 

Рубрика: 

65
∇= + +
2
2
2
2
2
2
2
д
dх
д
dy
д
dz
– оператор Лапласа.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ 5.
Примеры решения задач.
Задача 1. Колебания материальной точки происходят относительно
положения равновесия по закону х=А sin ωt с периодом 12 с. Определить,
за какой наименьший промежуток времени t
1
точка удалится от положения
равновесия на расстояние, равное половине амплитуды. За какой
промежуток времени t
2
она пройдет оставшуюся часть пути до
максимального отклонения.
Дано: х=А/2, Т=12 с.
Найти: t
1
-? t
2
-?
Решение. В момент времени t
1
cмещение равно А/2:
А/2=Аsinωt
1
, sinωt
1
=1/2, т.е. ωt
1
=π/6, или (2π/Т)t
1
=π/6.
Отсюда t
1
=T/12=1 c.
Расстояние от точки равновесия до точки максимального отклонения
материальная точка проходит за t=T/4. Следовательно, t
2
=T/4- T/12= 2 c.
Задача 2. Складываются два колебания одинакового направления,
выражаемых уравнениями
xA t
11 1
=
+
cos ( )
ω
τ
и xA t
22 2
=
+cos ( )
ω
τ
, где
А
1
=1 см; А
2
=2 см; τ
1
=1/6 с; τ
2
=1/2 с; ω=π рад/с. Определить начальные
фазы ϕ
1
и ϕ
2
составляющих колебаний; найти амплитуду А и начальную
фазу ϕ результирующего колебания.
Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид:
х At
=
+
cos( )
ω
ϕ
(1).
Преобразуем уравнения, заданные в условии
задачи, к такому же виду:
х At
11 1
=
+
cos( )
ω
ω
τ
и
х At
22 2
=
+
cos( )
ω
ω
τ
(2).
Из сравнения выражений (2) с (1) находим
начальные фазы первого и второго колебаний:
ϕ
1
=
ω
τ
1
=π/6рад и ϕ
2
=
ω
τ
2
=π/2 рад
Для определения амплитуды А
результирующего колебания удобно
воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. Согласно
теореме косинусов, получим:
AAA AA
2
1
2
2
2
12 2 1
2=++ −cos ( )
ϕϕ
(3)
ϕ
ϕ
21
−
=π/3 рад.
A
A
2
ϕ
ϕ
2
A
1
ϕ
1
                                                                          65
        2      2     2
       д     д    д
∇2 =       +    +     – оператор Лапласа.
       dх 2 dy 2 dz 2

                      РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ 5.
                           Примеры решения задач.
     Задача 1. Колебания материальной точки происходят относительно
положения равновесия по закону х=А sin ωt с периодом 12 с. Определить,
за какой наименьший промежуток времени t1 точка удалится от положения
равновесия на расстояние, равное половине амплитуды. За какой
промежуток времени t2 она пройдет оставшуюся часть пути до
максимального отклонения.
     Дано: х=А/2, Т=12 с.
     Найти: t1-? t2-?
     Решение. В момент времени t1 cмещение равно А/2:
     А/2=Аsinωt1, sinωt1=1/2, т.е. ωt1=π/6, или (2π/Т)t1=π/6.
Отсюда t1=T/12=1 c.
     Расстояние от точки равновесия до точки максимального отклонения
материальная точка проходит за t=T/4. Следовательно, t2=T/4- T/12= 2 c.

      Задача 2. Складываются два колебания одинакового направления,
выражаемых уравнениями x1 = A1 cosω (t + τ1 ) и x2 = A2 cosω (t + τ 2 ) , где
А1=1 см; А2=2 см; τ1=1/6 с; τ2=1/2 с; ω=π рад/с. Определить начальные
фазы ϕ1 и ϕ2 составляющих колебаний; найти амплитуду А и начальную
фазу ϕ результирующего колебания.
      Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид:
                  х = A cos(ωt + ϕ )           (1).                A
      Преобразуем уравнения, заданные в условии
задачи, к такому же виду:            х1 = A1 cos(ωt + ωτ 1 ) A2
и х 2 = A2 cos(ωt + ωτ 2 )      (2).
      Из сравнения выражений (2) с (1) находим
начальные фазы первого и второго колебаний:                           ϕ
ϕ1= ωτ 1 =π/6рад и ϕ2= ωτ 2 =π/2 рад                            ϕ2 A 1

      Для         определения           амплитуды          А       ϕ1

результирующего                колебания              удобно
воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. Согласно
теореме косинусов, получим:
       A 2 = A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos (ϕ 2 − ϕ 1 ) (3)
      ϕ 2 − ϕ1 =π/3 рад.

Страницы