Уравнения математической физики. Салехов Л.Г - 4 стр.

GDE PK1(') = sup j'(n)(x)j:
              x K n61
                     2


                                                                     R
   nERAWENSTWO (1) POKAZYWAET, ^TO Pf Yx 2 D 1( ): dALEE, O^EWIDNO, ^TO
                                                                 0



SUVENIE PF Yx NA ] ;1 0 RAWNO NUL@, A SUVENIE NA ]0 +1 RAWNO OBOB-

               R
]ENNOJ FUNKCII, POROVDAEMOJ OBY^NOJ FUNKCIEJ NA ]0 +1: f (x) =
1=x. nAPOMNIM, ^TO L@BAQ FUNKCIQ f 2 L1loc(), GDE  | OTKRYTOE MNO-
VESTWO IZ n, ESTX OBY^NAQ FUNKCIQ PO OPREDELENI@ l.{WARCA. dALEE,
IMEET MESTO SOOTNOENIE: v:p: x1 = Pf Yx ; Pf Yx (PROWERXTE!).

                                                 R
   5) nAJTI SOOTNOENIE MEVDU OBOB]ENNOJ FUNKCIJ Pf Yx I PROIZWOD-
NOJ OT OBOB]ENNOJ FUNKCII, PREDSTAWIMOJ ^EREZ FUNKCI@ x 7! Y (x) ln x.
   rEENIE. dLQ L@BOGO ' 2 D1( ) IMEEM:
         Z                               Z
                                         1
                                                                         Z
                                                                         1



              Y (x) ln x ' (x)dx =
                             0
                                             ln x ' (x)dx := "lim0 ln x ' (x)dx =
                                                     0

                                                                     &
                                                                                     0




         R                               0                               "
                                   0             Z '(x)dx 1  1



                             = lim @;'(") ln " ;          A=
                                 " 0
                                 &                               x
                     0 Z                                 "
                                                                  1
             = "lim0 @; '(x)dx ; '(0) ln " + '(0) ln " ; '(") ln "A :
                             1




                &                    x
                         "
tOGDA
     Z                                               
             Y (x) ln x ' (x)dx + Pf Yx  ' = lim
                         0

                                              " 0
                                                  f'(0) ; '(")] ln "g = 0:
                                                             &

     R


                                                                                         R
iTAK,
                                 
    d fY (x) ln xg ' = ; hY (x) ln x ' i = Pf Y  '  8' 2 D1( )
                                                                             
                                                         0


    dx                                          x
TO ESTX
                        d fY (x) ln xg = Pf Y :
                       dx                   x

                                                                                 R
N.B. eSLI WWESTI OBOB]ENNU@ FUNKCI@ ln jxj PO FORMULE
                                             Z
                    hln jxj 'i := v:p: '(x) ln jxj dx 8' 2 D( )
                                             R
                                                 4