Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 11 стр.

GDE (x) = exp(2ix) x = Pnk=1 k xk .
   pOSLEDOWATELXNOSTX U^ = (^u) Zn NAZYWA@T POSLEDOWATELXNOSTX@
                                                                  T
                                       2


KO\FFICIENTOW fURXE PERIODI^ESKOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII U .
                   C Z
   oTOBRAVENIE H : U 7! U^ , KOTOROE OTOBRAVAET P ( n) W PROSTRANSTWO
POSLEDOWATELXNOSTEJ ( n), NAZYWA@T ANALIZOM fURXE.
  b)   sINTEZ fURXE  .
                                                              0




P dLQn aKAVDOJ  POSLEDOWATELXNOSTI = (a) Zn RASSMATRIWAEM RQD
                                               a          2

          . eSLI \TOT RQD SUMMIRUEM, PO OPREDELENNOJ TOPOLOGII, K
   Z  
OBOB]ENNOJ (PERIODI^ESKOJ) FUNKCII U , TO GOWORQT, ^TO SINTEZ fU-
   2




RXE POSLEDOWATELXNOSTI a WOZMOVEN PO \TOJ TOPOLOGII. a OTOBRAVENIE
G : a 7! U NAZYWA@T SINTEZOM fURXE.

    T
  tEOREMA2 OBRA]ENIQ DLQ L2(       TI Zl2 ( n).
                                           n)

  R R
   ~EREZ L ( ) OBOZNA^IM MNOVESTWO (KLASSOW) FUNKCIJ, OPREDELENNYH
            n

                                  T P T R\ R
NA n, PERIODI^ESKIH (S PERIODOM 1), KWADRAT MODULQ KOTORYH LOKALXNO
  T
INTEGRIRUEM NA n, TO ESTX L2( n) = ( n) L2loc( n). bUDEM SNABVATX
                                                   0



L2( n) TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ IZ L2loc( n). |TA TOPOLOGIQ, O^EWID-
NO, \KWIWALENTNA TOPOLOGII, POROVDAEMOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM
                                      Z
                         (f jg)Tn =        f (x)g(x)dx:
                                      In
  iMEET MESTO
                                         T         T
  pREDLOVENIE. pROSTRANSTWO L2( n), SNABVENNOE \TOJ PREDGILX-
BERTOWOJ STRUKTUROJ, QWLQETSQ POLNYM, TO ESTX L2( n) ESTX GILX-
BERTOWO PROSTRANSTWO.
                TT                R   R R T
   w SAMOM DELE, TAK KAK L2loc( n) QWLQETSQ POLNYM, TO DOSTATO^NO PO-
KAZATX, ^TO L2( n) QWLQETSQ ZAMKNUTYM W L2loc( n). pUSTX L2( n) ESTX

           T                        R      R
ZAMYKANIE DLQ L2( n) PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA L2loc( n). tAK KAK \TA
                                          T T
TOPOLOGIQ SILXNEE (TONXE), ^EM TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA D ( n) I TAK
KAK P ( n) QWLQETSQ ZAMKNUTYM W D ( n), TO IMEEM: L2( n)  P ( n).
       0                                       0
                                                                      0


                                                                          0




                   T              T R T
sLEDOWATELXNO,
                L2( n)  (P ( n) \ L2loc( n)) = L2( n):
                              0




  tEOREMA OBRA]ENIQ.
                                             T
  10. aNALIZ fURXE H QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM L2( n)

                                          11