Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 12 стр.

     Z
NA l2 ( n). w ^ASTNOSTI, DLQ L@BOGO U 2 L2( n) IMEEM:
             Z                    X
                                                       T
                  jU j2dx =              ju^j2 (FORMULA pARSEWALQ):

                                                                       Z
             In                    Zn
                                  2




                                      T T
   20. sINTEZ fURXE G WSQKOJ POSLEDOWATELXNOSTI a 2 l2 ( n) WOZMO-
                      Z
VEN PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA L2( n). G QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM
IZOMORFIZMOM l2 ( n) NA L2( n).
   T Z
   30. H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI MEVDU
L2( n) I l2 ( n).
      Z
   dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO TEOREME sTOUNA-wEJERTRASSA MNOVES-
                                                                T
TWO f  2 ng QWLQETSQ POLNYM W PROSTRANSTWE L2( n), PRI \TOM ONO
OBRAZUET ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU. tOGDA TEOREMA WYTEKAET IZ RE-
ZULXTATOW O PREDSTAWLENII W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE. nAPOMNIM
\TI REZULXTATY.
   pREDSTAWLENIE W PROSTRANSTWE gILXBERTA.
   a) pUSTX (ei)i I | ORTONORMIROWANNOE SEMEJSTWO W GILXBERTOWOM PRO-
                  2

STRANSTWE H . tOGDA SLEDU@]IE UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY.
   1) sEMEJSTWO (ei)i I QWLQETSQ POLNYM.
   2)P8x 2 H SEMEJSTWO f(xjei)ei i 2 I g QWLQETSQ SUMMIRUEMYM W H I
                          2




x = i I (xjei )ei.             P
   3) 8x 2 H IMEEM: kxk2 = i I j(xjei)j2.
      2




   b) pUSTX (ei )i I | GILXBERTOWYJ BAZIS (TO ESTX SEMEJSTWO POLNOE I
                                          2




ORTONORMIROWANNOE) W PROSTRANSTWE gILXBERTA H . tOGDA 8 = (i)i I 2
                  2


                                                                           2

l2(I ) SEMEJSTWO (iei )i I QWLQETSQ SUMMIRUEMYM W H K NEKOTOROMU \LE-
MENTU x 2 H I i = (xjei):
                                              T Z
                              2




   tEOREMA OBRA]ENIQ DLQ P ( n) I S ( n).

     Z                                                 T
   10. aNALIZ fURXE H QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM IZOMORFIZMOM P ( n)
NA S ( n).
                                                ZZ T T
   20. sINTEZ fURXE G WOZMOVEN NA S ( n) PO TOPOLOGII P ( n). G QW-
LQETSQ TOPOLOGI^ESKIM IZOMORFIZMOM S ( n) NA P ( n).
   30. H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI.
                                                  PT Z
  dOKAZATELXSTWO.
   10. pOKAVEM, ^TO H NEPRERYWNO OTOBRAVAET ( n) NA S ( n). iSPOLX-
ZUQ REGULQRNOSTX (GLADKOSTX) I PERIODI^NOSTX U I INTEGRIRUQ PO ^AS-


                                              12