Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 21 стр.

               R                              R R
SUVENIE NA Z( n) NEPRERYWNO IZ Z( n) W O( n) !~ QWLQETSQ TRANSPO-
NIROWANNYM K SWOEMU SUVENI@.
    dOKAZATELXSTWO. nEPRERYWNOSTX ESTX SLEDSTWIE TOPOLOGI^ESKIH

                                               R R
SWOJSTW TRANSPONIROWANNOGO OTOBRAVENIQ. a DLQ DOKAZATELXSTWA SOOT-
NOENIQ h!~ U 'i = hU !~ 'i  U 2 O( n) ' 2 Z( n) DOSTATO^NO POKA-
                                              0



ZATX, ^TO F (~!U ) F ' = F U F !~ ' . a \TO O^EWIDNO.
                                         R
    2) !~ U QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ (S PERIODOM 1).
    dOKAZATELXSTWO. 8U 2 O ( n) IMEEM:   !~ U = (  !~ )  U =

                     T                   R                     T                   R
                                     0



(~!)  U = !~ U
    3) eSLI f 2 U ( n) I U 2 Z ( n) ILI f 2 A( n) I U 2 O ( n), TO
                                     0                                     0



!~ (fU ) = f !~ U .                   P n(  (fU ))) = P n(  f ) ; ( 
    dOKAZATELXSTWO
          P            . !~ ( fU  ) =
                                                              R
                                        Z               Z           
U ) = f  Zn(  U ) = f !~ U .
                                             2                         2




    30. pERIODI^ESKOE RAZLOVENIE EDINICY W Z( n).
                                                            R R
          2




    a) oPREDELENIE. wSQKAQ FUNKCIQ  2 Z( n) TAKAQ, ^TO !~  = 1,
NAZYWAETSQ PERIODI^ESKIM RAZLOVENIEM EDINICY W Z( n).
PERIODI^ESKOE RAZLOVENIE EDINICY W Z( n).
                                                     R R
    b) tEOREMA SU]ESTWOWANIQ. sU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNO

                    R
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX ' 2 D( n), GDE '(0) = 1. pOLOVIM =
F'. tOGDA 2 Z( n) I 1  = 1. rASSMOTRIM FUNKCI@ =  I n , GDE
                                                                       R R
              R
I n | KUB SO STORONOJ ] ; 1=2 +1=2. tAK KAK I n 2 E ( n)  O ( n), TO
IMEEM: 2 Z( n).
                                                                   0




    s DRUGOJ STORONY, !~ = !~ (I n  ) = (~!  I n )  = 1  = 1.
                                                                               0




    40. lEMMA O SUR_EKTIWNOSTI. wSQKAQ PERIODI^ESKAQ ULXTRAOBOB-
]ENNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ OBRAZOM PRI PERIODI^ESKOM PREOBRAZOWANII
!~ ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII BYSTROGO UBYWANIQ.
    wSQKAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM SPEKTROM ESTX OB-
RAZ, PRI PERIODI^ESKOM PREOBRAZOWANII !~ , FUNKCII BYSTROGO UBYWA-
NIQ I S KOMPAKTNYM SPEKTROM.
Z(R T TR                   R
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX | PERIODI^ESKOE RAZBIENIE EDINICY W
     n). eSLI F 2 U ( n), TO F 2 O ( n) I !  ~ ( F ) = F !~ = F . a ESLI
    dUALXNOSTX MEVDU A T I U T
                                                 0



f 2 A( n), TO f 2 Z( n) I !~ ( f ) = f !~ = f .
                      UT
  50.                      ( n)    ( n).
        AT
   tEOREMA. pROSTRANSTWO ( n) MOVET BYTX RASSMATRIWAEMO KAK

           h i h i 2U T                                            T
DUALXNOE K ( n), A DUALXNOSTX WYRAVAETSQ FORMULOJ:
                   F f   Tn =   U f  F             ( n) f 2 A( n)
                                             21