Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 22 стр.

GDE U ESTX ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ BYSTROGO UBYWANIQ, DLQ KOTO-
ROJ F ESTX PERIODI^ESKOE PREOBRAZOWANIE.
               T T T T
   dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY TAKOE VE, KAK TEOREMY W TEME ,,dU-
ALXNOSTX MEVDU P ( n) I L( n)".
   N.B. oTNYNE OTOVDESTWLQEM U ( n) S A ( n).
ULXTRAOBOB]ENNYH FUNKCIJ W A T
                                                   0



     aNALIZ I SINTEZ fURXE W PROSTRANSTWE PERIODI^ESKIH
     V.
                                   (
                                            0
                                                ( n)).
   10. oPREDELENIQ.
    aNALIZ fURXE
   a)
             2Z
                       .
   pUSTX U | PERIODI^ESKAQ ULXTRAOBOB]ENNAQ FUNKCIQ (S PERIODOM
1). dLQ L@BOGO  n POLAGAEM
                 h i
                  u^ = U   GDE (x) = exp(2ix):
pOSLEDOWATELXNOSTX u^ = (^u ) Zn NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@
     T
KO\FFICIENTOW fURXE PERIODI^ESKOJ ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII U 2
                                                               T
                               2




                                       CZ
A ( n). oTOBRAVENIE H : U 7! U^ , KOTOROE PEREWODIT A ( n) W PRO-
 0                                                         0



STRANSTWO POSLEDOWATELXNOSTEJ ( n), NAZYWA@T ANALIZOM fURXE.
   b) sINTEZ fURXE.
P dLQn aWSQKOJ  POSLEDOWATELXNOSTI a = (a) Zn RASSMATRIWA@T RQD
                                                       2


    Z   . eSLI \TOT RQD SUMMIRUEM, PO NEKOTOROJ TOPOLOGII, K NEKO-
TOROJ (PERIODI^ESKOJ) ULXTRAOBOB]ENNOJ FUNKCII U , TO GOWORQT, ^TO
     2




SINTEZ fURXE POSLEDOWATELXNOSTI a WOZMOVEN PO \TOJ TOPOLOGII I

          CZ
    20. tEOREMA OBRA]ENIQ DLQ A( n) I ( n). T CZ
OTOBRAVENIE G : a 7! U NAZYWA@T SINTEZOM fURXE.
    zDESX ( n) | WEKTORNOE PROSTRANSTWO KOMPLEKSNYH POSLEDOWATELX-
NOSTEJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. eGO SNABVA@T SWOEJ ESTESTWENNOJ IN-
DUKTIWNOJ TOPOLOGIEJ.
    tEOREMA.

                                C Z                        TT C Z
    1) aNALIZ fURXE H ESTX TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM A( n) NA ( n).
                             CZ T
    2) sINTEZ fURXE G WOZMOVEN NA ( n) PO TOPOLOGII A( n) G ESTX
TOPOLOGI^ESKIJ IZOMORFIZM ( n) NA A( n).
                                T TT
    3) H I G QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI IZOMORFIZMAMI.P
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX u 2 A( n)  L2( n). tOGDA u =  Zn u 

ZR
| SUMMIRUEMYJ RQD     , PO KRAJNE MERE, W L2( n), A SLEDOWATELXNO, W
                                                                           R
                                                                   2


                    P
 0



                R              R
   ( n). rQD F u =  Zn u^  SUMMIRUEM, PO KRAJNEJ MERE W D ( n).
tAK KAK u 2 O( n), TO F u 2 E ( n). pO\TOMU KO\FFICIENTY fURXE
                      2
                                   0



u^ DOLVNY OBRA]ATXSQ W NULX WNE NEKOTOROGO KOMPAKTA. iNA^E GOWORQ,
                                                                       0




                                       22