Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 27 стр.

  pREOBRAZOWANIE lAPLASA
                                                             R
                                                     .
   pREOBRAZOWANIE lAPLASA SU]ESTWENNO ULU^AET SIMWOLI^ESKOE IS-
^ISLENIE W SWERTO^NOJ ALGEBRE D ( +). oNO ANALOGI^NO PREOBRAZOWANI@
                                                         0



fURXE-lAPLASA, NO W TO WREMQ KAK OBRAZ fURXE-lAPLASA FUNKCII hEWI-
SAJDA DOSTATO^NO SLOVEN, OBRAZ lAPLASA \TOJ FUNKCII O^ENX PROST.
oTS@DA I POLEZNOSTX PREOBRAZOWANIQ lAPLASA W D ( +).
   w DALXNEJEM POLOVIM ep(x) = exp(px) x 2  p 2 .
                                                                              R
                                                                             R C              0




  10. lEMMA O WYPUKLOSTI.
                             0
                                 R
  1) pUSTX T 2 D ( ). pOLOVIM ;T := 
;T ESTX WYPUKLOE MNOVESTWO (PUSTOE ILI NET) IZ .
                                                                      f 2 Rj
                                                                               R 2S R g
                                                                                     e  (x)T
                                                                                      ;
                                                                                                        0
                                                                                                            ( ) . tOGDA
  2) kROME TOGO, ESLI NOSITELX T OGRANI^EN SLEWA, TO ;T ESTX POLU-
PRQMAQ, OGRANI^ENNAQ SLEWA.
  dOKAZATELXSTWO.
   1) eSLI ;T | PUSTOE ILI WYROVDAETSQ W TO^KU, TO NE^EGO DOKAZY-
WATX. pREDPOLOVIM PROTIWNOE. pUSTX 1 I 2 | DWA \LEMENTA IZ ;T .
rASSMOTRIM  = t1 + (1 ; t)2 0 6 t 6 1 I POKAVEM, ^TO  2 ;T . pO-
             R
LOVIM f (x) = exp(;x)=(exp(;1x) + exp(2x)). tOGDA, O^EWIDNO, ^TO
f 2 C ( ) I ^TO 0 6 f (x) 6 1 8x 2 . tAKVE MOVNO UBEDITXSQ, ^TO      R                                       R
                                                                              R
         1



WSE PROIZWODNYE OT f (x) OGRANI^ENY. sLEDOWATELXNO, f 2 M ( ) I TAK
KAK e  T = f e 1 T + f e 2 T , TO e  T 2 S ( ).
     ;               ;                 ;

   iTAK, ;T | WYPUKLO, A POTOMU ;T ESTX PROMEVUTOK W .
                                                             ;




   2) pREDPOLOVIM, ^TO supp T  a +1 a 2 . pUSTX 1 2 ;T  RAS-
                                                                          0




                                                                                      R                 R
                                       R
SMOTRIM TO^KU  > 1 I POKAVEM, ^TO  2 ;T . dLQ \TOGO PUSTX |
FUNKCIQ IZ KLASSA C ( ), RAWNAQ 1 NA OKRESTNOSTI a +1 I S NOSITE-
LEM, OGRANI^ENNYM SLEWA. tOGDA
                                 1




                                                                                                        R
                     e T = e
                         ;              ;  ( 1 ) e 1 T
                                             ;       ;            =( e    ;   ( 1 ) )(e 1 T ):
                                                                                ;         ;




tAK KAK FUNKCIQ e                              PRINADLEVIT                    M,    TO e  T 2 S ( ).
                             R
                                     ( 1 )
                                                                                                    0
                                 ;     ;                                                  ;

  20 .   tEOREMA I OPREDELENIE.
   pUSTX T 2 D ( +) TAKOE, ^TO ;T | NEPUSTOE I PUSTX T = inf ;T .
                 C
                         0



tOGDA
   1) 8p 2  TAKOGO, ^TO Rep > T , MOVNO PRIDATX SMYSL WYRAVENI@
hT e p i.
                                 RC
   2) fUNKCIQ LT : p 7! hT e p i QWLQETSQ GOLOMORFNOJ NA OTKRYTOJ
    ;




POLUPLOSKOSTI ;0T  W I IMEEM:
                                                                                          N
                                                 ;




                  Dk(LT ) = (;1)k L(xk T ) 8k 2 :              (I )
                                                                 27