Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 28 стр.

                                                             R
   pO OPREDELENI@ \TA FUNKCIQ NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIEM lAPLASA
DLQ OBOB]ENNOJ FUNKCII T 2 D ( +). pOLUPLOSKOSTX ;0T  NAZYWA@T
                                                         0



OBLASTX@ SU]ESTWOWANIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA LT , A T NAZYWA@T
                                                                                                            R
ABSCISSOJ SU]ESTWOWANIQ LT . iTAK, IMEEM:
                                         LT (p) = T (x) e
                                                                             ;   pt      :
  dOKAZATELXSTWO TEOREMY.
  1) pUSTX
                         R
                 | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA , KLASSA C , RAWNAQ 1                              R                        RR
                                                                                                R
                                                                                                            1



NA OKRESTNOSTI + I S NOSITELEM, OGRANI^ENNYM SLEWA. pUSTX 1 2
TAKOE, ^TO T < 1 < Rep, TOGDA e 1 T 2 S ( ) I e (p 1) 2 S ( ).                           0



tOGDA OPREDELQEM hT e p i := e 1 T e (p 1 ) . o^EWIDNO, \TO OPREDELE-
                                                                  ;                                     ;   ;


                                     ;               ;


NIE NE ZAWISIT OT WYBORA 1. pOKAVEM, ^TO ONO NE ZAWISIT I OT WYBORA
                                                                          ;   ;




FUNKCII . w SAMOM DELE, PUSTX ' | FUNKCIQ, OBLADA@]AQ SWOJSTWA-
MI FUNKCII
              . tOGDA ( ; ') ESTX NULX NA OKRESTNOSTI NOSITELQ T , A
PO\TOMU e 1 T ( ; ')e (p 1) = 0.
                 C
   2) pUSTX 1 I WYBRANY KAK W PUNKTE 1). pOLOVIM g(p) = he 1 T e pi.
             ;                           ;   ;




   pUSTX h 2  h 6= 0, GDE jhj 6 Rep=2 IMEEM:
                                                                                                                ;       ;




                                
               g(p + h) ; g(p) = e T e (p+h) ; e p :
                                                         

                                                                                                                    R
                                                                                      ;             ;

                                     1
                      h                            h         ;




   o^EWIDNO, ^TO (e (p+h) ; e p)=h STREMITSQ, PO TOPOLOGII S ( ), K
FUNKCII ;x e p , KOGDA h STREMITSQ K NUL@. oTKUDA SLEDUET, ^TO dg=dp
                                 ;                   ;




SU]ESTWUET I ^TO dg=dp = he 1 T ; xe p i. 
                     ;




   nO (LT )(p) = g(p ; 1) = e 1 T e (p 1 ) , OTKUDA
                                                 ;                        ;


                                                     ;                ;       ;



               d(LT ) = e T ; xe             = L(;xT )(p):
                            1        (p 1 )
                 dp                      ;                       ;    ;




i PO INDUKCII POLU^AEM FORMULU (I).

                                 R                   R R
   30. fUNDAMENTALXNOE SWOJSTWO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA.
   a) lEMMA. mNOVESTWO D ( +) \ S ( ) QWLQETSQ PODALGEBROJ SWER-
                                                                                      R R
                                                 0                    0



TO^NOJ ALGEBRY D ( +).
             R
                             0



   dOKAZATELXSTWO. pUSTX S I T 2 D ( +) \ S ( ). pOKAVEM, ^TO                     0                 0



S  T 2 S ( n). zAME^AQ, ^TO S  T = 2a( a S  aT ), MOVNO WEZDE PRED-
                                                                                                        R
         0



POLAGATX, ^TO supp S I supp T WKL@^ENY W a +1 GDE a > 0. pOKA-
                                                                      ;




  R                              R
VEM, ^TO FUNKCIONAL ' 7! hS  T 'i NEPRERYWEN NA D( ) PO TOPOLOGII
S ( ). pUSTX ' 2 D( ) ' (x y) := '(x + y). rASSMOTRIM FUNKCI@
                                             4




                                                             28