Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 7 стр.

                                                           R
fUNKCIONAL !~ T , OPREDELENNYJ NA D( n), NAZYWAETSQ PERIODI^ESKIM
PREOBRAZOWANIEM OBOB]ENNOJ FUNKCII T .
  sWOJSTWA
       R R
           PERIODI^ESKOGO PREOBRAZOWANIQ.
   1 . lINEJNOE OTOBRAVENIE !~ PREOBRAZUET NEPRERYWNO D( n) W E ( n)
   0                                                                                                R R
I E ( n) W D ( n).
   0          0




                                            R R
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX K | NEKOTORYJ KOMPAKT IZ n. tOGDA !~
NEPRERYWNO OTOBRAVAET DK ( n) W E ( n), IBO !~ ESTX KONE^NAQ SUMMA
                                                                                                   R
         R
NEPRERYWNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ. a TAK KAK K | PROIZWOLXNYJ
                                                               R R
KOMPAKT IZ n, TO !~ NEPRERYWNO OTOBRAVAET D( n) W E ( n). sOOTNOE-
                                                        2E R   2D R
NIE
                                                                       2D R
                      h!~ T 'i = hT !~ 'i  T
                                            ( n ) ' ( n )    0




                                                           E R DR
POKAZYWAET, ^TO !~ T ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, TO ESTX !~ T    ( n), I
                                                                    E R DR
                                                                                                       0



^TO OTOBRAVENIE T 7! !~ T NEPRERYWNO IZ ( n) W ( n) W SILU TOPOLO-    0                0



GI^ESKIH SWOJSTW TRANSPONIROWANNOGO OTOBRAVENIQ, GDE ( n) I ( n)                               0           0



SNABVENY ODNOWREMENNO SLABYMI ILI SILXNYMI DUALXNYMI TOPOLOGI-
QMI.
                      R                                  Z R
    20. 8T 2 E ( n) OBOB]ENNAQ FUNKCIQ !~ T QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ,
                  0



TO ESTX !~ (  T ) =  !~ T = !~ T 8 2 n.
             ZZ
    dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOGO ' 2 D( n) IMEEM: !~ ' = !~ (  ') =
!~ ' 8 2 n. oTKUDA, W SILU TRANSPOZICII, IMEEM !~ (  T ) =  !~ T =
!~ T 8 2 n.
                T                 R
                                                                                           ;           ;




         T                      R
    30. 8F 2 L( n) I 8 2 D( n) IMEEM: !~ ( F ) = F (~! )
8f 2 P ( n) 8T 2 E ( n) IMEEM: !~ (fT ) = f (~!T )
                            0



    dOKAZATELXSTWO. pREVDE WSEGO, 8T 2 E ( n) 8' 2 D( n) IMEEM:          0
                                                                              R                    R
                                       X
                            h!~ T 'i = h  T 'i 
                                                     Zn
                                                    2


TAK KAK SUMMA W PRAWOJ ^ASTI KONE^NA. |TO SOOTNOENIE MOVET BYTX
ZAPISANO W WIDE:                X
                                           !~ T =              T:
                                                     Zn
                                                     2


  tEPERX, ESLI F | PERIODI^ESKAQ, TO IMEEM:
                                (       F) =           F       =F              :
oTKUDA                           X                            X
                  !~ ( F ) =               ( F ) = F                            = F !~ :
                                  Zn2                         Zn2



                                                    7