Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 10 стр.

   dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX f 2 L2s (Rn). pOKAVEM, ^TO OBOB]ENNAQ
FUNKCIQ, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ f (TO ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ
FUNKCIQ) ESTX OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA. dEJSTWITELXNO,
W SILU NERAWENSTWA {WARCA, IMEEM:
              Z jf ( )jd     Z jf ( )j(1 + j j2)s=2d
                           =                         6
                                                   (1 + j j2) n2
                      (1 + j j2) n;2 s
                 Rn                      Rn
          0Z                     11=2 0Z                               11=2
        6 @ jf ( )j2(1 + j j2)sd A @                        d          A < 1:
                                                        (1 + j j ) 2 n
            Rn                                     Rn
     2) sOGLASNO TEOREME O KANONI^ESKOM WLOVENII DUALXNYH PROST-
RANSTW, SILXNOE DUALXNOE DLQ L2s (Rn) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W
S 0 (Rn), IBO WLOVENIE S (Rn) W L2s (Rn) QWLQETSQ NEPRERYWNYM I PLOT-
NYM. dALEE, TAK KAK UMNOVENIE NA (1+jxj2)s IZOMETRI^ESKI OTOBRAVAET
L2s (Rn) NA L2;s(Rn), DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO SILXNOE DUALXNOE DLQ
L2s (Rn) OTOVDESTWLQETSQ S L2;s (Rn), DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO \TO SAMOE
UMNOVENIE IZOMETRI^ESKI OTOBRAVAET L2s (Rn) NA SWOE SILXNOE DUALX-
NOE. pUSTX g 2 L2s (Rn). pOLOVIM h = (1 + jxj2)sg. pOKAVEM, ^TO \TA
OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA Th QWLQETSQ LINEJNYM FUNK-
CIONALOM, NEPRERYWNYM NA L2s (Rn). w SAMOM DELE, PUSTX ' 2 S (Rn).
iMEEM:                            D                               E
                      2 s
                              
    hTh  'i = (1 + jxj ) g ' = (1 + jxj ) g (1 + jxj ) ' = ('jg)L2s :
                                               2 s=2        2 s=2


sLEDOWATELXNO, FUNKCIONAL Th NEPRERYWEN NA S (Rn) PO TOPOLOGII
L2s (Rn). pO\TOMU Th PRODOLVIM W FUNKCIONAL L, NEPRERYWNYJ NA
L2s (Rn). |TOT FUNKCIONAL ZADAETSQ FORMULOJ:
                         hL f i = (f jg)L2s  f 2 L2s (Rn)
I, SLEDOWATELXNO,
                                kLk(L2s )0 = kgkL2s :
     oBRATNO, PUSTX L | LINEJNYJ FUNKCIONAL, NEPRERYWNYJ NA L2s (Rn).
sOGLASNO TEOREME O PREDSTAWLENII LINEJNOGO NEPRERYWNOGO FUNKCIO-
NALA W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE, SU]ESTWUET \LEMENT g 2 L2s (Rn)
TAKOJ, ^TO DLQ L@BOGO f 2 L2s (Rn) IMEEM: hL f i = (f jg)L2s . pUSTX T
ESTX SUVENIE L NA S (Rn). tOGDA 8' 2 S (Rn) IMEEM:
                                                  
                hL 'i = hT 'i = ('jg)L2s = (1 + jxj2)sg ' :
                                                                
                                              10