Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 9 стр.

  tEOREMA. pREDGILXBERTOWY PROSTRANSTWA L2s (Rn) QWLQ@TSQ POL-
NYMI (TO ESTX GILXBERTOWYMI) I IZOMETRI^NO IZOMORFNYMI. oTO-
BRAVENIE f 7! (1 + jxj2)s=2f PREOBRAZUET IZOMETRI^NO L2r+s (Rn) NA
L2r (Rn).
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX s 2 R: rASSMOTRIM OTOBRAVENIE f 7! (1+
jxj ) f IZ D0 (Rn) W D0(Rn). o^EWIDNO, ONO PREOBRAZUET IZOMETRI^NO
    2 s=2

PROSTRANSTWO L2r+s (Rn) NA L2r (Rn) DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA
r. sLEDOWATELXNO, PROSTRANSTWA L2s (Rn) WSE IZOMORFNY. a POSKOLXKU
L20(Rn) = L2(Rn) QWLQETSQ GILXBERTOWYM, TO WSE PROSTRANSTWA L2s (Rn)
QWLQ@TSQ GILXBERTOWYMI.
    b) wLOVENIE S W L2s (Rn).
    tEOREMA. dLQ L@BOGO s 2 R PROSTRANSTWO S (Rn) KANONI^ESKI
WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO L2s (Rn). kANONI^ESKOE WLOVENIE S (Rn)
W L2s (Rn) QWLQETSQ NEPRERYWNYM I PLOTNYM, TO ESTX S  L2s I S = L2s :
    dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX f 2 S (Rn). tAK KAK (1 + jxj2)s=2 ESTX
\LEMENT IZ M (Rn), GDE M (Rn) | PROSTRANSTWO MULXTIPLIKATOROW DLQ
S (Rn), TO FUNKCIQ f (1 + jxj2)s=2 ESTX \LEMENT IZ S (Rn), A ZNA^IT I IZ
L2(Rn). nO TOGDA f ESTX \LEMENT IZ L2s (Rn).
    2) eSTESTWENNOE (KANONI^ESKOE) WLOVENIE S (Rn) W L2s (Rn) SOSTOIT IZ
TREH NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ:
    a) UMNOVENIQ NA (1+ jxj2)s=2, KOTOROE NEPRERYWNO OTOBRAVAET S (Rn)
W S (Rn).
    b) NEPRERYWNOGO WLOVENIQ S (Rn) W L2(Rn), TO ESTX S (Rn)  L2(Rn).
    c) UMNOVENIQ NA (1 + jxj2);s=2, KOTOROE NEPRERYWNO OTOBRAVAET
L2(Rn) W L2s (Rn).
    sLEDOWATELXNO, S (Rn)  L2s (Rn).
    3) pLOTNOSTX VE S (Rn) W L2s (Rn) WYTEKAET IZ TREH PREDLOVENIJ:
    a) S (Rn) PLOTNO W L2(Rn).
    b) UMNOVENIE NA (1 + jxj2);s=2 PREOBRAZUET S (Rn) W S (Rn).
    c) \TO VE UMNOVENIE PREOBRAZUET IZOMETRI^NO L2(Rn) NA L2s (Rn).
    c) wLOVENIE L2s (Rn) W S 0 (Rn).
    tEOREMA. dLQ L@BOGO s 2 R IMEEM:
    1) pROSTRANSTWO Ls (R ) WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO S (R ).
                        2  n                                     0 n
    2) sILXNOE DUALXNOE DLQ Ls (R ) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W S (R ),
                               2   n                               0 n
SNABVENNOE SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ, I OTOVDESTWLQETSQ S
GILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM L2;s (Rn).

                                   9