Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 12 стр.

L2s (Rn). iNA^E GOWORQ,
                                             Z
            H s (Rn) :=   fu 2 S   0 (Rn)   j (1 + j j2)sju^( )j2d < 1g:
                                            Rn
  mNOVESTWO H s (Rn) SNABVA@T SKALQRNYM PROIZWEDENIEM:
                                    Z
                      (ujv)s :=          u^( )^v( )(1 + j j2)sd
                                    Rn
I NORMOJ, POROVDAEMOJ \TIM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM:
                                    Z
                          kuks := ju^( )j2(1 + j j2)sd :
                               2

                                    Rn
    N.B. kOGDA s 2 Z, \TA NORMA \KWIWALENTNA NORME, OPREDELENNOJ RA-
NEE, NO \TI DWE NORMY NE RAWNY.
    20) sWOJSTWA PROSTRANSTW H s (Rn).
    a) tRANSFORMACIQ fURXE PREOBRAZUET IZOMETRI^NO H s (Rn) NA
L2s (Rn).
    |TO SWOJSTWO WYTEKAET IZ SAMOGO OPREDELENIQ PROSTRANSTWA H s(Rn)
I TOPOLOGIQ W PROSTRANSTWE H s(Rn) ESTX TOPOLOGIQ, PERENOSIMAQ IZ
L2s (Rn) PRI PREOBRAZOWANII fURXE.
    b) pROSTRANSTWO H s (Rn) QWLQETSQ POLNYM (TO ESTX GILXBERTO-
WYM).
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX (u ) 2N | POSLEDOWATELXNOSTX kOI W
                          jj
H (Rn). tOGDA ((1 + 2)s=2u^ ( )) 2N ESTX POSLEDOWATELXNOSTX kOI W
  s
                                     jj
L2(Rn) I, SLEDOWATELXNO, ((1+ 2)s=2u^ ( )) 2N SHODITSQ W L2(Rn) K FUNK-
        2                                        jj
CII f L2(Rn). pOLOVIM g = (1 + 2);s=2f: pOSKOLXKU (1 + 2);s=2              jj   2
 M (R ), TO g
      n        2S0 (Rn). pO\TOMU g = u^ DLQ NEKOTOROGO u 0 (Rn). tAK2S
                                             jj               jj
KAK, S DRUGOJ STORONY, f = (1 + 2)s=2g = (1 + 2)s=2u^ L2(Rn), TO    2
 2
u H s(Rn). sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (u ) 2N SHODITSQ K u W
H s (Rn).
   pROSTRANSTWO OBOB]ENNYH FUNKCIJ A  D0 NAZYWA@T NORMALXNYM,
ESLI D  A  D0 I D PLOTNO W A.
   pROSTRANSTWA H s (Rn) QWLQ@TSQ NORMALXNYMI. w DEJSTWITELXNOSTI
SPRAWEDLIWO NESKOLXKO BOLXEE.
   c) S (Rn)  H s (Rn)  S 0 (Rn) I S (Rn) PLOTNO W H s(Rn).
                                              12