Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 15 стр.

sLEDOWATELXNO, H s (Rn)]0 = H ;s (Rn) I, U^ITYWAQ OCENKI (*) I (**),
IMEEM:
                         kukH s(Rn)]0 = kuk;s :
   g) pREOBRAZOWANIE SWERTKA S F (1+ jxj2)s=2] IZOMETRI^ESKI OTOBRA
                         -                                                               -

VAET PROSTRANSTWO            H r+s (Rn)      NA PROSTRANSTWO    H r (Rn)   DLQ L@BYH r
I s IZ R:
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX u 2 H r+s (Rn). tOGDA IMEEM
            Z                                   Z
 kuk = ju^( )j (1 + j j
     2
     r+s
                     2           2
                                     )r+sd    = fju^( )j(1 + j j2)s=2g2(1 + j j2)r d :
            Rn                                  Rn
  pOLOVIM v^( ) = u^( )(1 + j j2)s=2. tOGDA v 2 H r (Rn) I kuk2r+s = kvk2r .
dALEE, F v = F uFF (1 + j j2)s=2], OTKUDA v = u  F (1 + j j2)s=2] = u 
F (1 + j j2)s=2].
   N.B. eSLI;    s 2 Ns, TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ F (1 + jxj2)s ] ESTX NI ^TO
INOE, KAK 1 ; 42 , GDE  | MERA dIRAKA I  | OPERATOR lAPLA-
SA
;1,;W TO WREMQ
          s
                   KAK F (1+ j x j ); ] ESTX \LEMENTARNOE
                                   2 ;s
                                              s
                                                            REENIE
                                                               ;       OPERATORA
      42 . w SAMOM DELE, ESLI 1 ; 42          E = , TO F  1 ; 42 s ]F E =
1, OTKUDA (1 + j j2)sF E = 1. sLEDOWATELXNO, E = F (1 + j j2);s ] =
F (1 + j j2);s ].
   30): tEOREMY WLOVENIQ s.l.sOBOLEWA.
   pUSTX X I Y | BANAHOWY PROSTRANSTWA. dALEE, PUSTX WSE \LEMENTY
PROSTRANSTWA X PRINADLEVAT TAKVE I PROSTRANSTWU Y . tOGDA GOWORQT,
^TO PROSTRANSTWO X KANONI^ESKI (ESTESTWENNO) WLOVENO (ILI WKLADY-
WAETSQ) W PROSTRANSTWO Y . oBOZNA^IM ^EREZ I OPERATOR, KOTORYJ L@-
BOMU \LEMENTU u 2 X STAWIT W SOOTWETSTWIE TOT VE \LEMENT u, NO RAS-
SMATRIWAEMYJ UVE KAK \LEMENT PROSTRANSTWA Y . oPERATOR I NAZYWA@T
OPERATOROM (KANONI^ESKOGO) WLOVENIQ PROSTRANSTWA X W PROSTRAN-
STWO Y . s PODOBNYM OBSTOQTELXSTWOM MY UVE WSTRE^ALISX. nAPRIMER,
H k () k 2 N, WKLADYWAETSQ W L2(), TO ESTX H k ()  L2(), NO \TOT
FAKT TRIWIALEN, IBO ON SLEDUET IZ SAMOGO OPREDELENIQ PROSTRANSTWA
H k (). iNTERES, KONE^NO, PREDSTAWLQ@T NETRIWIALXNYE TEOREMY WLO-
VENIQ. tEOREMAMI WLOVENIQ PRINQTO NAZYWATX TEOREMY OB OGRANI-
^ENNOSTI (NEPRERYWNOSTI) OPERATORA WLOVENIQ ILI EGO KOMPAKTNOSTI
(WPOLNE NEPRERYWNOSTI).
   w TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ RASSMATRIWAETSQ, WOOB]E GOWORQ, NE
KONKRETNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, A KLASS \KWIWALENTNYH OBOB]ENNYH
                                               15