Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 17 стр.

NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO F L1(Rn). nO, W SILU TEORE-
MY rIMANA-lEBEGA, PROSTRANSTWO F L1(Rn) NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ
W PROSTRANSTWO C0(Rn), SNABVENNOE TOPOLOGIEJ RAWNOMERNOJ SHODIMOS-
TI.
    2) pEREJDEM K OB]EMU SLU^A@. eSLI u 2 H s(Rn), TO DLQ  2 Nn  jj 6
k Du 2 H s;k (Rn). a TAK KAK s ; k > n=2, TO Du DOPUSKAET PREDSTAWI-
TELQ, PRINADLEVA]EGO C0(Rn). oTKUDA u 2 B0k (Rn). mOVNO UBEDITXSQ,
^TO WLOVENIE H s(Rn) W B0k (Rn) NEPRERYWNO.
   b) sLU^AJ PROIZWOLXNOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA       .

   tEOREMA. pUSTX  OTKRYTOE MNOVESTWO IZ Rn A k 2 N I m 2
                       |                                 ,

N TAKIE ^TO m > n=2 + k tOGDA PROSTRANSTWO H m () NEPRERYWNO
        ,                   .

WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO E k ()         .

   dOKAZATELXSTWO. pREVDE POKAVEM, ^TO H m () WLOVENO W E k ().
dLQ \TOGO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO SUVENIE FUNKCII u 2 H m () NA
WSQKOE OTKRYTOE MNOVESTWO 1, OTNOSITELXNO KOMPAKTNOE W , QWLQETSQ
(PREDSTAWIMA ^EREZ) FUNKCIEJ IZ KLASSA C k . dLQ \TOGO RASSMOTRIM
FUNKCI@  2 D(), RAWNU@ 1 NA 1. o^EWIDNO, u ESTX FUNKCIQ S
KOMPAKTNYM NOSITELEM W , PRINADLEVA]AQ H m(). pUSTX fu ESTX
PRODOLVENIE NULEM DLQ FUNKCII u NA Rn n . tOGDA fu 2 H m(Rn) I, W
SILU TEOREMY WLOVENIQ sOBOLEWA W SLU^AE  = Rn IMEEM, ^TO fu ESTX
(DOPUSKAET PREDSTAWITELQ) FUNKCIQ IZ KLASSA C k (Rn). nO SUVENIE DLQ
fu NA 1 RAWNO u. oTKUDA I SLEDUET REZULXTAT.
    oSTAETSQ UBEDITXSQ, ^TO WLOVENIE H m () W E k () QWLQETSQ NEPRE-
RYWNYM. pUSTX K | NEKOTORYJ KOMPAKT IZ , A  2 D(), RAWNAQ 1
NA K . tOGDA IMEEM:
                  pK k (u) = sup sup jDuj = pK k (fu) 6
                           jj6k x2K

          pk (fu) 6 C kfukH m(Rn) = C kukH m( ) 6 C 0 kukH m ( ):
|TO POKAZYWAET NEPRERYWNOSTX WLOVENIQ H m () W E k (), IBO pK k |
ODNA IZ POLUNORM PROSTRANSTWA E k ().
  c) sLU^AJ OTKRYTOGO MNOVESTWA, OBLADA@]EGO SWOJSTWOM m-PRO-
DOLVENIQ.
  gOWORQT, ^TO OTKRYTOE MNOVESTWO   Rn OBLADAET SWOJSTWOM m-
PRODOLVENIQ, ESLI SU]ESTWUET LINEJNOE OTOBRAVENIE  : L2() !
L2(Rn), NEPRERYWNOE IZ H r () W H r (Rn) DLQ r = 0 1 : : :  m, I TA-

                                       17