Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 18 стр.

KOE, ^TO SUVENIE u W  SOWPADAET (PO^TI WS@DU) S u. u NAZYWA@T
m-PRODOLVENIEM FUNKCII u 2 H m () NA Rn, GDE u 2 H m(Rn).
    pOZVE UWIDIM, ^TO POLUPROSTRANSTWO OBLADAET SWOJSTWOM m-PRO-
DOLVENIQ DLQ L@BOGO CELOGO POLOVITELXNOGO m.
    tEOREMA. pUSTX  OTKRYTOE MNOVESTWO OBLADA@]EE SWOJST
                        |                        ,                    -

WOM m PRODOLVENIQ tOGDA PROSTRANSTWO H m () NEPRERYWNO WKLA
      -             .                                                 -

DYWAETSQ W PROSTRANSTWO Bk () ESLI m > n=2 + k GDE Bk () ESTX
                                  ,                  ,

MNOVESTWO FUNKCIJ k RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH NA 
                    ,                                            .

    dOKAZATELXSTWO. mNOVESTWO Bk () SNABVA@T NORMOJ pk (u) :=
sup sup jDu(x)j. pUSTX u 2 H m () I  ESTX m-PRODOLVENIE DLQ .
x2 jaj6k
tOGDA u ESTX \LEMENT IZ B0k (Rn) I, SLEDOWATELXNO, SUVENIE u ESTX
\LEMENT IZ Bk (). nO \TO SUVENIE ESTX NI^TO INOE, KAK u.
    wLOVENIE H m () W Bk () ESTX KOMPOZICIQ TREH NEPRERYWNYH OTO-
BRAVENIJ:
    1) OTOBRAVENIQ , PREOBRAZU@]EGO NEPRERYWNO H m () W H m(Rn)
    2) ESTESTWENNOGO NEPRERYWNOGO WLOVENIQ H m (Rn) W B0k (Rn)
    3) NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ | SUVENIQ u ! uj , PREOBRAZU@]EGO
B0 (Rn) W Bk ().
  k
    pO\TOMU H m ()  Bk ().
    40) kOMPAKTNOE WLOVENIE.
    a) tEOREMA. pUSTX K | KOMPAKT IZ Rn, A r I s | DWA DEJST-
WITELXNYH ^ISLA TAKIH, ^TO r < s. tOGDA ESTESTWENNOE WLOVENIE
H s (Rn) \ EK0 (Rn) W H r (Rn) QWLQETSQ KOMPAKTNYM.
    zDESX H s (Rn) \ EK0 (Rn) := fu 2 H s(Rn)jsupp u  K g | MNOVESTWO
FUNKCIJ, SNABVENNOE TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ IZ H s (Rn).
  dOKAVEM PREDWARITELXNO LEMMU        :

  lEMMA. dLQ WSQKOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA s I L@BYH x I y IZ
Rn IMEET MESTO NERAWENSTWO    :


                  (1 + jx + yj2)s 6 (1 + jxj)2jsj(1 + jyj2)s:
  dOKAZATELXSTWO. dOSTATO^NO EE DOKAZATX DLQ s = 1. rASSMOT-
RIM SLU^AJ, KOGDA s = +1. iMEEM:
1+jx+yj2 = 1+jxj2 +2xy +jyj2 6 1+jxj2 +2jxjjyj+jyj2 6 (1+jxj)2(1+jyj2)
IBO 2jyj 6 2jyj2 + jxjjyj2 + 2.
                                  18