Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 20 стр.

tAK KAK (^uj )j2N SHODITSQ RAWNOMERNO NA B , TO WTOROE SLAGAEMOE PRAWOJ
^ASTI STREMITSQ K NUL@, KOGDA k j ! 1. s DRUGOJ STORONY, PERWOE
SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI WSEGDA 6 2". sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELX-
NOSTX (uj )j2N QWLQETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ kOI.
   b) tEOREMA rELIHA-kONDRAOWA. pUSTX  OTKRYTOE MNO
                                                     |                   -

VESTWO OTNOSITELXNO KOMPAKTNOE W Rn tOGDA DLQ WSQKOGO CELOGO
        ,                                   .

m>1
  1)  wLOVENIE H0m () W H0m;1() QWLQETSQ KOMPAKTNYM        .

  2)  wLOVENIE H m () W H m;1 () QWLQETSQ KOMPAKTNYM ESLI  OB
                                                             ,           -

LADAET SWOJSTWOM m PRODOLVENIQ
                      -              .

   dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX (uj )j2N | POSLEDOWATELXNOSTX \LEMEN-
TOW IZ H0m (), TAKAQ, ^TO kuj kH m ( ) 6 1: pUSTX u~j | PRODOLVENIE NULEM
uj NA Rn n . tOGDA u~j 2 H m(Rn). tAK KAK  | KOMPAKT W Rn, TO, W SILU
PREDYDU]EJ TEOREMY, POSLEDOWATELXNOSTX (~uj )j2N SODERVIT PODPOSLE-
DOWATELXNOSTX (~ujk )k2N, SHODQ]U@SQ PO TOPOLOGII H m;1 (Rn). sLEDOWA-
TELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (ujk )k2N SHODITSQ PO TOPOLOGII H m;1 ().
   2) tO VE DOKAZATELXSTWO S u WMESTO u~, GDE  2 D(Rn), RAWNA 1 NA
OKRESTNOSTI , I GDE  ESTX m-PRODOLVENIE DLQ .
  IV.   iZU^ENIE SLEDOW.
   pUSTX ; | GIPERPLOSKOSTX (; MOVET BYTX I NEKOTORYM KOMPAKTNYM
PODMNOGOOBRAZIEM IZ Rn RAZMERNOSTI 6 n ; 1) W Rn. iZWESTNA SLEDU-
@]AQ PROBLEMA: KAKIE FUNKCII f IZ L2(Rn) DOPUSKA@T ESTESTWENNOE
SUVENIE NA ; (SLED NA ;, OBOZNA^AEMYJ trace ;f )?
   tAK KAK MERA lEBEGA MNOVESTWA ; W Rn RAWNA NUL@, TO NE KAVDU@
FUNKCI@ MOVNO SUZITX NA ;. eSTX NADEVDA, ^TO IME@T SLEDY NA
; HOTQ BY TE FUNKCII f , W KLASSE \KWIWALENTNOSTI KOTORYH IMEETSQ
DOSTATO^NO GLADKIJ PREDSTAWITELX. nAPRIMER, f 2 S (Rn) IMEET ESTES-
TWENNOE SUVENIE (SLED) trace ;f , ZADAWAEMOE PROSTO NABOROM ZNA^ENIJ
f NA ;. iDEQ NAEGO PODHODA SOSTOIT W NAHOVDENII TAKOGO BANAHOWA
PROSTRANSTWA B , ^TO S (Rn)  B  L2(Rn) I ktrace ;f kL (;) 6 ckf kB DLQ
                                                         2

f 2 S (Rn). eSLI S (Rn) PLOTNO W B , TO MOVNO PRODOLVITX trace ;f NA
WSE B .
   ~TO VE SLEDUET WYBRATX W KA^ESTWE TAKOGO BANAHOWA PROSTRANST-
WA B ? iZWESTNO, ^TO USLOWIQ NA GLADKOSTX FUNKCII f \KWIWALENTNY
USLOWIQM NA SKOROSTX UBYWANIQ FUNKCII f^, PO\TOMU ESTESTWENNO WOS-
POLXZOWATXSQ PROSTRANSTWAMI sOBOLEWA H s(Rn).
                                    20