Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 16 стр.

FUNKCIJ. w ^ASTNOSTI, NEKOTORYJ KLASS OBOB]ENNYH FUNKCIJ MOVET
OKAZATXSQ \KWIWALENTNYM NEKOTOROJ KLASSI^ESKOJ NEPRERYWNOJ ILI
INTEGRIRUEMOJ FUNKCII, NE BUDU^I RAWNYM EJ (POTO^E^NO).
   tEOREMY WLOVENIQ GOWORQT O TOM, ^TO, ESLI OBOB]ENNAQ FUNKCIQ
PRINADLEVIT K KAKOMU-TO PROSTRANSTWU sOBOLEWA, TO ONA OKAZYWAET-
SQ \KWIWALENTNOJ NEKOTOROJ KLASSI^ESKOJ FUNKCII IZ OPREDELENNOGO
KLASSA.
   pOSTAWIM WOPROS O REGULQRNOSTI (GLADKOSTI) \LEMENTOW IZ H s .
   a) sLU^AJ PROSTRANSTWA Rn.
   dLQ WSQKOGO k 2 N POLOVIM
             B0k (Rn) := fu 2 E k (Rn)jDu 2 C0(Rn) jj 6 kg
GDE C0(Rn) | PODMNOVESTWO IZ C (Rn), OBRAZOWANNOE IZ FUNKCIJ, OBRA-
]A@]IHSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI. gOWORQT, ^TO NEPRERYWNAQ FUNK-
CIQ f (x) OBRA]AETSQ W NULX NA BESKONE^NOSTI, ESLI I TOLXKO ESLI, DLQ
L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET KOMPAKT K IZ Rn TAKOJ, ^TO ESLI x 2 Rn n K ,
TO jf (x)j < ". mNOVESTWO C0(Rn) SNABVA@T NORMOJ kf k1 = supn jf (x)j
                                                               x2R
TOGDA C0(Rn) STANOWITSQ BANAHOWYM PROSTRANSTWOM. nAPOMNIM, ^TO
TOPOLOGIQ W C0(Rn) NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI W
Rn.
  o^EWIDNO, B0k (Rn) ESTX WEKTORNOE PROSTRANSTWO SNABDIM EGO NORMOJ:
                            pk (u) := sup supn jDu(x)j:
                                     jj6k x2R
  tEOREMA. pUSTX k 2 N I s 2 R TAKIE, ^TO s > n=2 + k, GDE n |
RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA Rn. tOGDA PROSTRANSTWO H s (Rn) NEPRE-
RYWNO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO B0k (Rn).
   dOKAZATELXSTWO. 1) rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA k = 0. tO
ESTX POKAVEM, ^TO ESLI s > n=2, TO PROSTRANSTWO H s(Rn) NEPRERYW-
NO WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO C0(Rn). w SILU NERAWENSTWA {WARCA
IMEEM:
      Z               0Z                      11=2 0Z                   11=2
                                                                d
           jf ( )jd 6 @ jf ( )j2(1 + j j2)s d A @           (1 + j j )
                                                                    2 s
                                                                        A :
      Rn               Rn                              Rn
oTKUDA, TAK KAK s > n=2, SLEDUET, ^TO PROSTRANSTWO L2s (Rn) NEPRERYWNO
WKLADYWAETSQ W PROSTRANSTWO L1(Rn). pO\TOMU PROSTRANSTWO H s(Rn)
                                         16