Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

  dOKAZATELXSTWO.     bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ u~ PRODOLVENIE NULEM
FUNKCII u WNE EE OBLASTI OPREDELENIQ I ^EREZ  = fx 2 Rnjz +  > 0g.
  pUSTX u 2 H m (). dLQ WSQKOGO " > 0 POLOVIM:
                            u"(y z ) := u(y z + ")
^TO OPREDELQET u" (y z ) NA " . ~EREZ " OBOZNA^IM SUVENIE DLQ u" NA .
   a) pOKAVEM, ^TO DLQ WSQKOGO FIKSIROWANNOGO " > 0 " MOVET BYTX
APPROKSIMIROWANO \LEMENTAMI IZ D().
   pUSTX  | \LEMENT IZ E (Rn), RAWNYJ EDINICE NA OKRESTNOSTI , GDE
supp   ". pOLOVIM U = u~". tOGDA U ESTX \LEMENT IZ H m (Rn) I EGO
SUVENIE NA  RAWNO " . nO PROSTRANSTWO D(Rn) PLOTNO W H m(Rn) SLEDO-
WATELXNO, SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX (!j )j2N \LEMENTOW IZ D(Rn),
SHODQ]AQSQ K U PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA H m (Rn). pUSTX 'j = !j j .
tOGDA ' 2 D() I POSLEDOWATELXNOSTX ('j )j2N SHODITSQ K " PO TOPOLO-
GII PROSTRANSTWA H m ().
   b) pOKAVEM, ^TO " SHODITSQ K u PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA
H (), KOGDA " ! 0.
  m
   sNA^ALA POKAVEM, ^TO " STREMITSQ K u PO TOPOLOGII L2(). dLQ
\TOGO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO ~" STREMITSQ K u~ PO TOPOLOGII L2(Rn).
iMEEM: k~" ; u~k 6 ku~ ; u~"k + ku~" ; ~" k GDE k k | NORMA W L2(Rn).
   oBOZNA^AQ ^EREZ w SUVENIE u NA ;" , WIDIM, ^TO WTOROE SLAGAEMOE
PRAWOJ ^ASTI RAWNO ku~ ; w~k I STREMITSQ K NUL@ W SILU TEOREMY lE-
BEGA O MAVORIROWANNOJ SHODIMOSTI. ~TO KASAETSQ PERWOGO SLAGAEMOGO
PRAWOJ ^ASTI, TO ONO RAWNO ku~ ; ;" u~k I STREMITSQ K NUL@ W SILU NE-
PRERYWNOSTI OTOBRAVENIQ x 7! x u, PREOBRAZU@]EGO Rn W L2(Rn).
   rASSMOTRIM TEPERX PROIZWODNYE MULXTIINDEKSA , GDE jj 6 m.
iMEEM: Du"(y z ) = Du(y z + ") I D" = Du" j , TO ESTX SUVENIE
Du" NA . pOSKOLXKU Du 2 L2()  2 Nn  jj 6 m, MY MOVEM ZA-
KL@^ITX, W SILU TOLXKO ^TO SKAZANNOGO, ^TO D" ! Du PO TOPOLOGII
L2().
   20) sWOJSTWO m-PRODOLVENIQ POLUPROSTRANSTWA, m 2 N.
   tEOREMA. pOLUPROSTRANSTWO OBLADAET SWOJSTWOM m-PRODOLVE-
NIQ DLQ L@BOGO m 2 N.
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX  = fx 2 Rnjz > 0g. sOGLASNO PREDY-
DU]EJ TEOREME, D() PLOTNO W H m (). sLEDOWATELXNO, DOSTATO^NO PO-
KAZATX, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ u 2 D() QWLQETSQ m-PRODOLVIMOJ. dLQ
                                   26

Страницы