Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 10 стр.

(SM. NERAWENSTWO fRIDRIHSA). |TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE POROVDAET
NORMU W V I V STANOWITSQ GILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM.
     20) pOSTANOWKA ZADA^I kOI-aDAMARA.
     i]ETSQ FUNKCIQ (KLASS FUNKCIJ) u(t x), OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI
SWOJSTWAMI:
   1) u 2 L2(I  V ) u(t x) = 0, ESLI t < 0
   2) sUVENIE PROIZWODNOJ @u=@t (W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA
I  ) NA OTKRYTOE MNOVESTWO I   QWLQETSQ \LEMENTOM IZ L2(I 
)
  3) w SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA I   FUNKCIQ u UDOWLETWO-
RQET URAWNENI@
                      @u ; u = f +  u0
                      @t
GDE  | MERA dIRAKA W TO^KE t = 0.
   pREVDE ^EM DOKAZYWATX EDINSTWENNOSTX I SU]ESTWOWANIE REENIQ
u, USTANOWIM NEKOTORYE NOWYE SWOJSTWA FUNKCII u.
  30) sTROGAQ POSTANOWKA ZADA^I (SWOJSTWA REENIQ).
  I) pUSTX u | REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I TOGDA, W SMYSLE OB-
OB]ENNYH FUNKCIJ NA I  , IMEEM:
                             u0 ; u = f:
     |TO SWOJSTWO NEMEDLENNO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO supp ( u0) = f0g
.
     II) u QWLQETSQ \LEMENTOM IZ L2(I  ), RAWNYM NUL@ PRI t < 0:
     w SAMOM DELE, PUSTX | SUVENIE DLQ u NA I . oBOZNA^IM ^EREZ 
LAPLASIAN OT W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA OTKRYTOM MNOVESTWE
I  . tAK KAK u0 I f PRINADLEVAT L2(I  ), TO  2 L2(I  ):
o^EWIDNO, ^TO u ESTX FUNKCIQ, RAWNAQ  NA I   I NUL@ WNE.
   III) dLQ PO^TI WSEH x 2  FUNKCIQ t !    7 u(t x) QWLQETSQ NEPRERYW
                                                                      -

NOJ NA I POSLE EE ESTESTWENNOGO PODPRAWLENIQ NA MNOVESTWE MERY
NULX IZ I FUNKCIQ u(t x) NEPRERYWNO OTOBRAVAET I W H = L2()

                     R
           

POSLE TOGO VE EE PODPRAWLENIQ TO ESTX u ESTX \LEMENT IZ C (I  H )
                                ,                                     .

   dOKAZATELXSTWO. pREVDE WSEGO NAPOMNIM LEMMU d@ bUA rAJMON
DA: ESLI f I g 2 L1loc( n), A Tf I Tg { REGULQRNYE OBOB]ENNYE FUNKCII,
                                                                      -




                                    10