Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 11 стр.

KOTORYE SWQZANY RAWENSTWOM @1(Tf ) = Tg , TO, POSLE ESTESTWENNOGO POD-
PRAWLENIQ NA MNOVESTWE MERY NULX, FUNKCIQ f STANOWITSQ NEPRERYW-
NOJ PO x1 I
                                                                Zx    1

         f (x1 x2  : : :  xn) ; f (x01 x2 : : :  xn ) =             g(s x2 : : :  xn)ds
                                                                x01
I ESLI, KROME TOGO, f I g NEPRERYWNY, TO f QWLQETSQ NEPRERYWNO DIF-
FERENCIRUEMOJ (W KLASSI^ESKOM SMYSLE) OTNOSITELXNO x1 I @1f = g:
   sOGLASNO \TOJ LEMME DLQ PO^TI WSEH x 2  FUNKCIQ t 7! u(t x),
POSLE UKAZANNOGO PODPRAWLENIQ, QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA I , I PERWAQ
^ASTX SWOJSTWA DOKAZANA.
   dALEE, PO TOJ VE LEMME, IMEEM:
                                                     Zt @u
                          u(t x) ; u(t0 x) =            @t (s x)ds
                                                     t0
GDE t0 t 2 I . tOGDA, W SILU NERAWENSTWA {WARCA,
                                                    Zt  @u(s x) 2
                    ju(t x) ; u(t0 x)j2 6 jt ; t0j  @t  ds:
                                                          t0
oTKUDA
           Z                                      Z  @u(s x) 2
                ju(t x) ; u(t0 x)j2dx 6 jt ; t0j  @t  dsdx
                                                         I 
A OTS@DA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ u NEPRERYWNO OTOBRAVAET I W H =
L2(), TO ESTX u 2 C (I  H ).
   IV) dLQ PO^TI WSEH x 2  u(t x) STREMITSQ POTO^E^NO K u0(x)
KOGDA t ! 0 TAKVE u(t x) STREMITSQ K u0(x) PO TOPOLOGII H KOGDA
                                                                              (               )         ,



t ! 0:
                                                                                                   ,



  dOKAZATELXSTWO. sNOWA ISPOLXZUEM SOOTNOENIE
                                                     Zt @u(s x)
                          u(t x) = u(t0 x) +                  @t ds
                                                     t0

                                                11