Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 19 стр.

NO LEWAQ ^ASTX POD ZNAKOM PREDELA ESTX NI^TO INOE, KAK POSLEDOWATELX-
NOSTX
    1                      1
                                                      ZT
    2
      k u m (T ) ; u(T )k ; kum (0) ; u k +
                         2
                           2
                                       0 2
                                                           kum(t) ; u(t)kH     2
                                                                                   1
                                                                                   0 ()
                                                                                           dt:
                                                      0

tAK KAK kum (0) ; u0 k ! 0 PO GIPOTEZE, TO IMEEM:
                                               ZT
      lim
     m!1
          k um ( T ) ; u ( T ) k2
                                  = 0 mlim
                                         !1
                                                    kum(t) ; u(t)kH2
                                                                       1
                                                                       0 ()
                                                                               dt = 0:
                                               0

oTKUDA SLEDUET, ^TO (um )m2N SHODITSQ K u PO NORME PROSTRANSTWA
L2(I  H01()), I ^TO um (T ) SHODITSQ K u(T ) PO TOPOLOGII L2(). zAMENQQ
T NA t 2 I , WIDIM, ^TO um (t) SHODITSQ K u PO TOPOLOGII L2().
  60) pRIMENENIE SOBSTWENNYH FUNKCIJ (METOD RAZDELENIQ
PEREMENNYH).
  pREDPOLOVIM, ^TO OPERATOR (;) OBLADAET BAZISOM SOBSTWENNYH
FUNKCIJ (j )j2N W H01(), ORTONORMIROWANNYH W H = L2():
                        ;j =           j 2 H01():
                                     j j 
iZWESTNO, ^TO WSE j | POLOVITELXNYE ^ISLA.
   N.B. zAMETIM, ^TO ESLI  ESTX OTKRYTOE OGRANI^ENNOE MNOVESTWO,
TO OPERATOR (;) WSEGDA IMEET BAZIS, SOSTOQ]IJ IZ ORTOGONALXNYH W
H01() SOBSTWENNYH FUNKCIJ, W SILU IZWESTNOJ SPEKTRALXNOJ TEOREMY.
   wOZXMEM \TOT BAZIS DLQ POSTROENIQ REENIQ u(t x) METODOM gALER-
KINA. wYBEREM W KA^ESTWE u0m PROEKCI@ u0 NA PODPROSTRANSTWO, POROV-
DENNOE FUNKCIQMI f1 2 : : :  m g, TO ESTX
                                     X
                                     m
                              um =
                                0
                                              gj0j (x)
                                     j =1
GDE gj0 = (u0jj ) | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCII u0(x) ONI NE ZAWISQT
OT m. sISTEMA DLQ OPREDELENIQ gj (t) IMEET WID:
                    g0 (t) + g (t) = f (t) ESLI t 2 I
                      j        j j         j
                     gj (0) = gj  gj (t) = 0 ESLI t < 0:
                                0



                                        19