Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 21 стр.

    1) pOKAVEM, ^TO u 2 C 1(I  ) I RQD SHODITSQ K u(t x) PO TOPO-
LOGII PROSTRANSTWA E (I  ).
    dOKAZATELXSTWO. lEGKO PROWERITX, ^TO um ; u0m = 0 NA I  .
nO, KAK MY UVE WIDELI, POSLEDOWATELXNOSTX (um)m2N SHODITSQ K u(t x)
PO NORME PROSTRANSTWA L2(I  ), A SLEDOWATELXNO, PO SILXNOJ DUALXNOJ
TOPOLOGII  PROSTRANSTWA D0(I  ). tAK KAK OPERATOR TEPLOPROWODNOSTI
; @ ;  QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM, TO u 2 C 1(I  ), I POSLEDOWA-
TELXNOSTX (um )m2N SHODITSQ K u(t x) PO TOPOLOGII E (I  ).
 @t

    2) pOKAVEM, ^TO u 2 CB (I  H01()) I RQD SHODITSQ K u(t x) PO NOR-
ME PROSTRANSTWA CB (I  H01()), GDE CB (I  H01()) | PROSTRANSTWO
FUNKCIJ, OGRANI^ENNYH I NEPRERYWNYH NA I SO ZNA^ENIQMI W H01(),
SNABVENNOE TOPOLOGIEJ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI NA I .
    iMEEM:
                                            X
                                            p                                                        X
                                                                                                     p
   kup(t) ; uq (t)kH      2
                              1
                              0 ()
                                        =            jgj j e;  tkj kH
                                                       0 2          2   j          2
                                                                                       1
                                                                                       0 ()
                                                                                               =             jgj j e;  t
                                                                                                                   0 2     2   j
                                                                                                                                     j
                                            j =q+1                                                  j =q+1
TAK KAK
                kj kH    2
                              1
                              0 ()
                                        = (;j jj )L2() =                       j   kj kL  2
                                                                                                   2()   = j:
oTKUDA
                                                     X
                                                     p
   sup kup(t) ; uq (t)kH01() =     2
                                                               jgj j
                                                                   0 2
                                                                            j   = kup (0) ; uq (0)k2H01() ! 0:
    t2I                                            j =q+1
   3) pOKAVEM, ^TO u0 2 L2(I  ) \ CB (I  V 0) I (u0m )m2N SHODITSQ K u0
PO NORME PROSTRANSTWA L2(I ) I PO NORME PROSTRANSTWA CB (I  V 0).
   nAPOMNIM, ^TO V = H01() I V 0 = H ;1(), A H = L2(). iZWESTNO,
^TO  ESTXp  IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM H01() NA H ;1(), kj kV 0 =
kj kV = j . spDRUGOJ STORONY, kj kH;1() = j kj kH;1(). oTKUDA
kj kH;1() = 1= j . tOGDA
                                            X
                                            p                                                             X
                                                                                                          p
kp ;
  u0 (t)   u0 (t)
            q    kH; 2
                          1()      =              jgj j
                                                     0 2 2
                                                               j   e;2 t   j
                                                                                kj kH;2
                                                                                            1 ()   =              jgj j
                                                                                                                     0 2
                                                                                                                               je
                                                                                                                                   ;2  t 
                                                                                                                                          j


                                         j =q+1                                                           j =q+1
A POTOMU
                                                                                 X
                                                                                 p
                    sup k     u0 (t)
                                p        ;    u0 (t)
                                               q      kH;  2
                                                               1()      =                 jgj j j ! 0:
                                                                                            0 2
                    t2I                                                         j =q+1

                                                                21