Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 28 стр.

                                                               R
A \TO POKAZYWAET, ^TO uj (t x) = 0 DLQ WSEH t < ;1 (I DLQ PO^TI WSEH
x 2 ). sLEDOWATELXNO, kuj (t)k2V = 0 t 2 . oTKUDA uj (t x) = 0 t 2 ,
I PO^TI DLQ WSEH x 2 .
                                                                                              R
    oSTAETSQ POKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO T > 0 POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N

                                                           R
SHODITSQ K u PO TOPOLOGII L2(] ; 1 T ): dEJSTWITELXNO, POLOVIM
   = u]0T +1 , GDE ]0T +1 | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ MNOVESTWA
]0 T + 1. tOGDA ESTX \LEMENT IZ L2(  ). pOLOVIM
                                        Z
                         j (t x) =           j (s) (t ; s x)ds:

                                      R   R
nAPOMNIM, ^TO ESLI 2 L2(  ), A j 2 L1( ), TO
N22( j ) 6 N22( )N12(j ). a PO\TOMU
                                                                       R       j          R
                                                                                   2 L (  ) I
                                                                                      2


       Z                   Z                           Z                   Z
           j j (t x)j dt 6 j (t x)j dt jj (s)jds = j (t x)j dt:
                   2                          2                                       2

       R                   R                           R                   R
i, W SILU TEOREMY O REGULQRIZACII, IMEEM:
                               Z
                         lim
                        j !1
                                   j j (t x) ;            (t x)j2dx = 0
                               R
DLQ PO^TI WSEH x 2 . sLEDOWATELXNO, SOGLASNO TEOREME lEBEGA O MA-
VORIRUEMOJ SHODIMOSTI, IMEEM:
                           Z
                    lim
                   j !1
                                   j j (t x) ;        (t x)j2dxdt = 0:
                         R
nO NA OTKRYTOM MNOVESTWE ] ; 1 T  u (SOOTWETSTWENNO uj ) SOWPA-
DAET S (SOOTWETSTWENNO j ). sLEDOWATELXNO,
                          Z
                  lim
                 j !1
                                     juj (t x) ; u(t x)j dtdx = 0:
                                                                   2

                       ];1T   

  50) sU]ESTWOWANIE I STRUKTURA REENIQ
  tEOREMA. pOSTAWLENNAQ ZADA^A kOI-aDAMARA OBLADAET REENI-
EM.
  dOKAZATELXSTWO. s POMO]X@ METODA gALERKINA DOKAVEM SU]EST-
WOWANIE REENIQ I POSTROIM EGO.
                                                  28