Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 29 стр.

   pUSTX (uj )j2N | BAZIS W V , ORTONORMIROWANNYJ W H . nAPOMNIM, ^TO

               N
SLOWO BAZIS OZNA^AET POLNU@ SISTEMU LINEJNO NEZAWISIMYH WEKTOROW.
   a) pRIBLIVENNOE REENIE.

R
   pUSTX m 2 FIKSIROWANO. pUSTX am I bm | LINEJNYE KOMBINACII
IZ 0 : : :  m . pOKAVEM, ^TO SU]ESTWUET FUNKCIQ um , OPREDELENNAQ NA
    I OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
              8 u (t x) = 0
              >
              >    m P
                                                       RC
                                             ESLI t < 0
              < um00 = i=0 gmi(t) i(t) GDE gmi 2 C 2( + )
              >
                            m
                 (um(t)jj ) ; (ujj ) = 0 GDE t > 0              (1)
              >
              : uum0 (0  x) = am           DLQ PO^TI WSEH x 2 
                   m (0 x) = bm            DLQ PO^TI WSEH x 2 :
    pOLOVIM
                     cij = ;(i jj ) = (ijj )V  0 6 i j 6 m
                                mj = (amjj ) 0 6 j 6 m

                                                        RC
                                mj = (bmjj ) 0 6 j 6 m:
tOGDA WSE SWODITSQ K OPREDELENI@ FUNKCIJ gmj 2 C 2( + ) TAKIH, ^TO
DLQ 0 1 : : :  m, IMEEM:
                    8 g (t) = 0
                    >
                    < gmj                                      ESLI t < 0
                          00 (t) + Pm gmi (t)cij = 0 ESLI t > 0
                          mj             i=0
                    >
                    : gmj0 (0) = mjmj:
                        g    (0) =   
                          mj
   o^EWIDNO, \TA ZADA^A WSEGDA RAZREIMA I DLQ L@BOGO T > 0 um QWLQ-
ETSQ \LEMENTOM IZ L2(];1 T  H01 ()) I u0m ESTX \LEMENT IZ L2(]0 T ).
   b) aPRIORNAQ OCENKA.
   uMNOVAQ (1) NA gmj        0 I SUMMIRUQ PO j OT 0 DO m, POLU^IM:

                             d 0                d
                            dt
                               ku m ( t ) k 2
                                              +
                                              1
                                              0 dt
                                                   k um (t)kH () = 0:
                                                            2


iNTEGRIRUQ PO t OT 0 DO t, POLU^AEM RAWENSTWO \NERGII:
                   ku0m(t)k2 + kum(t)k2H () = kamk2H () + kbmk2:
                                   1
                                   0
                                                  1
                                                  0

   c) sHODIMOSTX K REENI@.
                                       29