Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

10
Теоремы о пределах переменных
Теорема 1.
Переменная
n
x может иметь только один предел.
Между переменными величинами, имеющими предел, и бесконечно
малыми величинами существует связь.
Теорема 2. Переменную величину, имеющую предел, можно предста-
вить в виде суммы своего предела и некоторой бесконечно малой величины.
Теорема 3 (обратная к теореме 2). Если переменную величину
n
x мож-
но представить в виде суммы двух слагаемых
n
x =
n
a
α
+
, (1.5)
где а есть некоторое число, а
n
α
– бесконечно малая, то а есть предел пере-
менной величины
n
x .
Теорема 4. Если переменная
n
x
имеет конечный предел, то она огра-
ничена.
Следствие. Бесконечно малая переменная ограничена.
Лемма 1. Алгебраическая сумма любого (но ограниченного) числа бес-
конечно малых величин есть также величина бесконечно малая.
Лемма 2. Произведение ограниченной переменной величины
n
x на
бесконечно малую
n
α есть величина бесконечно малая.
Следствие 1. Произведение любого конечного числа бесконечно малых
величин представляет собой бесконечно малую величину.
Следствие 2. Произведение постоянной величины на бесконечно ма-
лую есть величина бесконечно малая.
Следствие 3. Произведение переменной величины, стремящейся к пре-
делу, на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.
Пользуясь леммами 1 и 2 можно доказать следующие теоремы о пределах.
Теорема 5. Если переменные
n
x и
n
y имеют конечные пределы, то их
сумма, разность, произведение также имеют конечные пределы, причем:
1)
(
)
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
±
=
±
limlimlim
,
2)
(
)
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
⋅
=
⋅
limlimlim
.
Замечание 1. Эта теорема верна для любого фиксированного числа
слагаемых и сомножителей.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
(
)
n
n
n
n
xccx
∞→∞→
=
limlim
,
где с – какая-либо постоянная.
Теорема 6. Если переменные
n
x и
n
y имеют конечные пределы и
n
y ≠0,
∞→n
lim
n
y ≠ 0, то и частное этих переменных также имеет предел, причем

Страницы