Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

11
n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
∞→
∞→
∞→
=
lim
lim
lim .
Теорема 7. Если переменная
n
x
имеет конечный предел, то для любого
действительного числа
α имеет место равенство
()
α
∞→
α
∞→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
nn
n
xx limlim
в предположении, что степени
α
n
x и
α
∞→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
n
xlim имеют смысл.
Замечание 2. Во всех теоремах п. 1.3 условие существования конечных
пределов у переменных
n
x и
n
y является существенным. Без этого условия
теоремы неверны.
Леммы и теоремы, установленные в этом пункте, имеют очень большое
не только теоретическое, но и практическое значение. Если до сих пор мы
могли лишь проверять, пользуясь определением предела, будет ли то или
иное заранее угаданное число пределом данной переменной величины, то те-
перь
открывается возможность и для вычисления предела переменной.
Пример 1. Переменная величина
n
x имеет предел -1. Найти предел пе-
ременной
n
nn
n
x
xx
y
−
−−
=
1
34
2
.
Решение. Пользуясь теоремой 5 и следствием теоремы 5, находим
;1)1(lim
22
=−=
∞→
n
n
x
(
)
(
)
313lim33lim −
=
−
=
=
∞→∞→
n
n
n
n
xx
;
(
)
(
)()
6134lim3lim4lim34lim
22
=−−−=−−=−−
∞→∞→∞→∞→
n
n
n
nn
nn
n
xxxx
;
()
(
)
0211lim1lim1lim
≠
=
−
−
=
−
=
−
∞→∞→∞→
n
nn
n
n
xx
.
Применяя далее теорему 6, получим
(
)
()
3
2
6
1lim
34lim
1
34
limlim
2
2
==
−
−−
=
−
−−
=
∞→
∞→
∞→∞→
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
x
xx
x
xx
y .
1.4. Особые случаи пределов и неопределенности
В теоремах предыдущего пункта указаны способы нахождения преде-
лов суммы, разности, произведения и частного двух переменных
n
x и
n
y ,
имеющих соответственно конечные пределы a
и b. Остановимся теперь на
рассмотрении отдельных возможных случаев вычисления пределов, которые
не охватываются указанными выше способами.

Страницы