Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13
нечно малых предел их отношения найден или установлено, что его нет, то
говорят, что
неопределённость раскрыта.
6) Пусть
n
x и
n
y – бесконечно большие величины. В этом случае о
пределе отношения
nn
yx / также никакого общего заключения сделать нель-
зя. Так, например,
а) если
∞→=
2
nx
n
,
∞
→= ny
n
, то ∞→= n
y
x
n
n
;
б) если
∞→= nx
n
, ∞→=
2
ny
n
, то 0
1
→=
ny
x
n
n
;
в) если
∞→= nx
n
,
∞
→= ny
n
, то 11→=
n
n
y
x
;
г) если
()
∞→−=
n
n
nx 1,
∞
→
=
ny
n
, то
()
n
n
n
y
x
1−= предела не имеет.
Из этих примеров следует, что отношение двух бесконечно больших
может быть величиной бесконечно большой, бесконечно малой, может иметь
пределом число, отличное от нуля, а также может вовсе не иметь предела.
Поэтому говорят, что отношение двух бесконечно больших в общем случае
представляет собой также
неопределённость, но уже вида
∞
∞
. Если беско-
нечно большие
n
x и
n
y конкретно заданы и нам удалось найти предел их от-
ношения или доказать, что он не существует, то мы будем говорить, что не-
определённость раскрыта.
2. Рассмотрим сумму двух переменных
n
x +
n
y .
1) Пусть
∞→
n
x
,
by
n
→
. Тогда
(
)
∞
→
+
nn
yx
. В частности, если
+∞→
n
x , то и
()
+∞→+
nn
yx ; если
−
∞→
n
x , то
(
)
−∞→
+
nn
yx .
2) Пусть
+∞→
n
x и
+
∞→
n
y . Тогда
n
x +
n
y
+
∞→ . Если
−
∞→
n
x ,
−∞→
n
y , то
n
x +
n
y −∞→ , так как сумма бесконечно больших одного знака
есть величина бесконечно большая.
3) Пусть
n
x и
n
y есть бесконечно большие разных знаков. Тогда о пре-
деле суммы
n
x +
n
y ничего определённого сказать нельзя до тех пор, пока не
будут известны законы изменения
n
x и
n
y . Этот предел может быть равен
нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а также может и вовсе не
существовать. Например:
а) если
()
+∞→
+
= nnx
n
/1,
−
∞→
−
=
ny
n
, то 0/1 →
=
+
nyx
nn
;
б) если
+∞→= nx
n
2,
−
∞→
−
=
ny
n
, то +∞→
=
+
nyx
nn
;
в) если
()
+∞→
+
= 2nx
n
,
−
∞→
−
=
ny
n
, то 22 →
=
+
nn
yx ;
г) если
()
+∞→−+=
n
n
nx 1,
−
∞→
−
=
ny
n
, то
()
n
nn
yx 1−=+ предела не
имеет.

Страницы