ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
В скобках все слагаемые, кроме первого, являются бесконечно малыми.
Следовательно, предел выражения, стоящего в скобках, равен
0
a . Множитель
k
n
есть величина бесконечно большая. Отсюда заключаем, что
+
∞=
+∞→
n
n
xlim
,
если
0
0
>a и
−∞=
+∞→
n
n
xlim
, если 0
0
<
a .
Пример 2. Найти предел переменной
2
12
2
2
+
+−
=
n
nn
x
n
.
Решение. Как уже установлено в примере 1, числитель и знаменатель
являются величинами бесконечно большими. Следовательно, имеем случай
неопределённости вида
∞
∞
. Для раскрытия этой неопределённости вынесем
за скобки
2
n в числителе и
2
n в знаменателе:
2
12
2
2
+
+−
=
n
nn
x
n
2
2
2
2
2
2
2
1
11
2
2
1
11
2
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
= .
Замечая, что
11lim,22lim,0
1
lim,0
1
lim
2
====
∞→∞→∞→∞→ nnnn
n
n
, и применяя
теоремы 5 и 6 п. 1.3 о пределах, найдём
2
2
lim1lim
1
lim
1
lim2lim
2
1lim
11
2lim
2
12
limlim
2
2
2
2
2
2
=
+
+−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
+
+−
=
∞→∞→
∞→∞→∞→
∞→
∞→
∞→∞→
n
n
n
n
n
n
n
nn
x
nn
nnn
n
n
n
n
n
.
Пример 3. Пусть
n
x представляет собой частное двух многочленов:
mm
mmm
kk
kkk
n
bnbnbnbnb
anananana
x
+++++
+++++
=
−
−−
−
−−
1
2
2
1
10
1
2
2
1
10
...
...
(
)
0,0
00
≠≠ ba .
Рассмотреть все возможные случаи поведения частного при +∞→
n .
Решение. Как показано в примере 1, числитель и знаменатель являются
величинами бесконечно большими. Следовательно, имеем неопределённость ви-
да
∞
∞
. Вынося за скобки в числителе
k
n
, а в знаменателе
m
n
, получим
m
m
m
m
k
k
k
k
mk
n
n
b
n
b
n
b
n
b
b
n
a
n
a
n
a
n
a
a
nx
+++++
+++++
⋅=
−
−
−
−
−
1
1
2
21
0
1
1
2
21
0
...
...
.
Предел второго множителя равен 0/
00
≠
ba . Что же касается предела
первого множителя, то он будет зависеть от соотношения чисел k
и m. Если
k
>m, то ∞→
−mk
n и, следовательно,
±
∞→
n
x (знак совпадает со зна-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
