Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17
кой множества Е, то она называется
односторонней предельной точкой
множества Е; в противном случае она называется
двусторонней предельной
точкой
.
Пусть функция y =
()
xf определена на некотором числовом множестве
D={x}, имеющем предельную точку
0
x . Точка
0
x может принадлежать мно-
жеству D, а может и не принадлежать ему.
Определение 2. Число А называется пределом функции
()
xf в точке
0
x ,
если для любой последовательности значений
x
:
...,...,,,
21 n
xxx ,
входящих в область определения функции и сходящихся к
0
x , но отличных от
0
x ,
соответствующая последовательность значений функции
(
)
xf :
()
(
)
(
)
...,...,,,
21 n
xfxfxf
сходится и притом всегда к одному и тому же числу А.
Тот факт, что А – предел функции
(
)
xf
в точке
0
x
записывается так:
(
)
=
→
xf
xx
0
lim А
или ещё так:
()
→xf А при
0
xx → .
Данное определение предела функции часто называют определением
предела функции
по Гейне. Оно основано на понятии предела числовой по-
следовательности, поэтому его иногда называют также определением
«на
языке последовательностей».
Дадим другое, часто применяемое определение предела функции по
Коши
(снова считая, что
0
x – предельная точка области D определения
функции
()
xf ).
Определение 3. Число А называется пределом функции
()
xf
в точке
0
x
,
если для любого сколь угодно малого числа ε > 0
найдётся такое число δ>0,
что для всех
0
xx ≠ ,
x
∈D, удовлетворяющих неравенству
0
xx
−
< δ,
выполняется неравенство
⎮
(
)
xf – А⎮< ε.
Это определение использует понятие ε-окрестности и δ-окрестности и
потому его называют ещё определением
«на языке ε – δ».
Если
Axf
xx
=
→
)(lim
0
, то на графике функции y=f(x) это иллюстрируется
следующим образом (см. рис. 3): так как из неравенства |x – x
0
|
<
δ следует
неравенство |f(x) –А|
<
ε, то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки
x
0
не далее, чем на δ, точки М графика функции y=f(x) лежат внутри полосы
шириной 2ε, ограниченной прямыми y=А – ε и y=А + ε.

Страницы