Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19
Поскольку последовательность
{
}
n
x предполагалась произвольной (с одним
лишь требованием, чтобы
2→
n
x
), то на основании определения 2 предела
функции по Гейне заключаем, что
(
)
313lim
2
2
−=−−
→
xx
x
.
Таким образом, решение свелось к тому, что в выражение данной
функции мы подставили 2=
x
.
Замечание 3. Рассуждение, приведённое в примере 2, применимо к
любому многочлену, и мы можем сделать следующий общий вывод: для то-
го, чтобы найти предел многочлена
nn
nn
axaxaxa ++++
−
−
1
1
10
...
при стремлении
x
к некоторому числу ,
α
достаточно подставить в выраже-
ние этого многочлена вместо
x
число ,
α
то есть
(
)
nn
nn
nn
nn
x
aaaaaxaxaxa +α++α+α=++++
−
−
−
−
α→
1
1
101
1
10
......lim
.
Односторонние пределы
Кроме рассмотренного нами понятия предела функции в точке, суще-
ствуют также понятия
предела в точке слева и предела в точке справа.
Пусть функция
()
xf определена на числовом множестве D и
0
x – левая
(правая) предельная точка этого множества (она может быть и двусторон-
ней). Если в определении предела функции потребовать, чтобы
x
стремилось
к
0
x не любым способом, а только слева (оставаясь все время меньше
0
x ), то
получим определение предела
слева в точке
0
x .
Определение 4. Число А называется пределом функции
()
xf
в точке
0
x слева или левосторонним пределом, если для любого сколь угодно малого
числа ε>0 найдётся такое число δ>0, что для всех
x
∈D, удовлетворяющих
неравенству
0
x –δ<
x
<
0
x , выполняется неравенство: ⏐
(
)
xf –А⏐<ε.
Тот факт, что А – предел функции
(
)
xf в точке
0
x слева записывается так:
(
)
=
−→
xf
xx 0
0
lim
А или
()
(
)
=
<
→
xf
xx
xx
0
0
lim А или
(
)
=
−
0
0
xf А.
Определение 5. Число А называется пределом функции
()
xf в точке
0
x
справа
или правосторонним пределом, если для любого ε > 0 можно найти
такое δ > 0, что для всех
x
∈ D, удовлетворяющих неравенству
0
x <
x
<
0
x + δ,
выполняется неравенство ⏐
()
xf – А⏐< ε.
Предел справа обозначается так:
(
)
=
+→
xf
xx 0
0
lim А или
()
(
)
=
>
→
xf
xx
xx
0
0
lim А или
(
)
=
+
0
0
xf А.

Страницы