Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18
Рис. 3
Теорема 1.
Определения 2 и 3 предела функции по Гейне и по Коши
эквивалентны, то есть если функция имеет предел в точке
0
x согласно одно-
му из определений, то этот же предел функция будет иметь и по другому оп-
ределению.
Пример 1. Исходя из определения предела функции по Коши, доказать,
что функция
()
xf
53 −=
x
имеет в точке 2
=
x
предел, равный 1. Каково
должно быть δ, если ε равно
2
/
1,1 и 100
/
1 ?
Решение. Возьмём любое ε > 0. Задача состоит в том, чтобы по этому ε
найти такое
δ > 0, при котором из неравенства 2
−
x < δ следовало бы нера-
венство
()
153 −−x < ε. Последнее преобразуется к виду
()
23 −x < ε или
2−x < ε/3. Отсюда видно, что можно взять δ = ε/3. В частности, если ε = 1, то
δ = 3
/
1; если ε = 2
/
1, то δ = 6
/
1; если ε = 100
/
1, то δ = 300
/
1.
Пример 2. Пользуясь определением предела функции «на языке после-
довательностей», доказать, что функция
(
)
xf 13
2
−
−
=
x
x
имеет в точке 2
=
x
предел, равный -3, то есть
(
)
313lim
2
2
−=−−
→
xx
x
.
Решение. Пусть
{}
n
x – произвольная последовательность значений
x
,
сходящихся к 2, то есть
∞→
→
n
n
x 2. Тогда, применив теорему 5 п. 1.3 о пределе
произведения, получим
()
422limlim
2
2
2
=⋅=⋅=
→→
nn
x
n
x
xxx
nn
, 6233lim
2
=⋅
=
→
n
x
x
n
.
По теореме о пределе суммы и разности получим
()
(
)
316413limlim
2
22
−=−−=−−=
→→
nn
x
n
x
xxxf
nn
.

Страницы