Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16
ком
00
/ ba ). Если же k = m, то 1
0
=
=
−
nn
mk
и ./
00
bax
n
→ Наконец, если
k
< m, то 0
/
1 ==
−− kmmk
nn и 0→
n
x .
Пример 4. Найти предел переменной 122
2
−−+= nnx
n
.
Решение. Выражение переменной
n
x
представляет собой неопределён-
ность вида .∞−∞ Если правую часть умножить и разделить на сумму
122
2
−++ nn , то мы придём к неопределённости вида
∞
∞
, которая рас-
крывается приемом, изложенным в примерах 2 и 3:
(
)
122limlim
2
−−+=
∞→∞→
nnx
n
n
n
(
)
(
)
122
122122
lim
2
22
−++
−++−−+
=
∞→
nn
nnnn
n
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
−++
+−
=
∞→∞→
4342
2
2
2
2
2
1221
32
1
lim
122
32
lim
nnnn
n
n
n
n
nn
nn
nn
=
−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
∞→∞→
∞→
4342
2
12
lim
21
lim
32
1lim
nnnn
n
n
nn
n
∞=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−
∞→∞→
∞→∞→∞→
4342
2
12
lim
21
lim
3
lim
2
lim1lim
nnnn
n
n
nn
nnn
.
В этом примере мы использовали теоремы 5, 6, 7 п. 1.3 и теорему 1
п. 1.2 о связи между бесконечно большой и бесконечно малой величинами.
1.5. Предел функции
В п. 1.1 мы рассмотрели понятие предела применительно к числовой
последовательности, то есть к функции натурального аргумента. Перейдём
теперь к выяснению этого понятия для функций произвольного действитель-
ного аргумента.
Введём понятие предельной точки числового множества.
Определение 1. Точка
0
x называется предельной точкой или точкой
сгущения числового множества Е, если в любой окрестности (
0
x –ε,
0
x +ε) этой
точки содержится хотя бы одна точка из Е, отличная от
0
x .
Замечания: 1. Сама предельная точка
0
x при этом может принадле-
жать, а может и не принадлежать множеству Е.
2. Если в любой левой (правой) полуокрестности точки
0
x содержится
хотя бы одна точка данного множества Е, то точка
0
x называется левосто-
ронней (правосторонней) предельной точкой
множества Е. Если при этом
точка
0
x окажется только левосторонней (правосторонней) предельной точ-

Страницы