Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

14
Таким образом, сумма двух бесконечно больших разных знаков пред-
ставляет собой в общем случае
неопределённость вида .∞−
∞
3. Рассмотрим произведение двух переменных
nn
yx
⋅
.
1) Пусть
n
x и
n
y являются бесконечно большими. Тогда их произведе-
ние будет также величиной бесконечно большой, так как в данном случае
n
x/1 и
n
y/1, а значит, и )/(1
nn
yx
⋅
будут величинами бесконечно малыми.
2) Пусть одна из переменных имеет конечный предел, отличный от ну-
ля, а другая – бесконечно большая. Тогда их произведение будет величиной
бесконечно большой. Действительно, если
0
≠
→ ax
n
, а
n
y – бесконечно
большая, то
n
y/1
будет бесконечно малой, а
n
x/1
– величиной ограниченной
()
ax
n
/1/1 → . Следовательно, их произведение )/(1
nn
yx
⋅
будет бесконечно
малой, а тогда
nn
yx будет бесконечно большой.
3) Пусть
n
x – бесконечно малая, а
n
y – бесконечно большая. Тогда
имеем случай
неопределённости, которая обозначается символом
∞
⋅
0 . На-
пример:
а) если 0/1
→= nx
n
, ∞→=
2
ny
n
, то
∞
→
=
⋅
nyx
nn
;
б) если
0/1
2
→= nx
n
,
∞
→
=
ny
n
, то 0/1 →
=
⋅
nyx
nn
;
в) если 0/3 →=
nx
n
,
∞
→
=
ny
n
, то 33 →
=
⋅
nn
yx ;
г) если
(
)
0/1 →−= nx
n
n
,
∞
→
=
ny
n
, то
(
)
n
nn
yx 1−=⋅ предела не имеет.
Кроме рассмотренных нами неопределённостей вида
0
0
,
∞
∞
, ,
∞
−
∞ и
∞⋅0, существуют еще другие случаи неопределённостей, связанные с рас-
смотрением степеней:
0
0
,
∞
1,
0
∞
. С ними мы познакомимся в п. 2.2.2.
Раскрытие неопределённостей в некоторых случаях представляет собой
значительную трудность. В каждом отдельном случае приходится использо-
вать особый приём, позволяющий преобразовать выражение к такому виду,
когда о пределе возможно дать определённый ответ.
Рассмотрим на примерах некоторые типичные приёмы раскрытия не-
определённостей.
Пример 1. Пусть
n
x
есть многочлен степени k относительно n:
kk
kkk
n
ananananax +++++=
−
−
−
1
2
2
1
10
...
()
0
0
≠a .
Как ведёт себя этот многочлен при
+
∞→n ?
Решение. Если бы все коэффициенты были одного знака, то, очевидно,
n
x
была бы бесконечно большой такого же знака. При разных знаках коэффици-
ентов имеем неопределённость вида .
∞
−
∞
Для раскрытия этой неопреде-
лённости вынесем за скобки высшую степень
n:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++++=
−
−
k
k
k
k
k
n
n
a
n
a
n
a
n
a
anx
1
1
2
21
0
... .

Страницы