Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12
1. Рассмотрим сначала частное
n
n
y
x
(
n
y ≠0).
1) Пусть
∞→
→
n
n
ax
, а
n
y – бесконечно большая. Тогда частное
nn
yx / бу-
дет бесконечно малая, так как его можно представить в виде
nn
xy ⋅)/1(, где
n
y/1 – бесконечно малая, а
n
x – ограниченная величина. Следовательно,
0lim =
∞→
n
n
n
y
x
.
2) Пусть 0≠→ ax
n
, а
n
y – бесконечно малая, не принимающая нуле-
вых значений. Тогда
nn
yx /
будет бесконечно большой, так как обратная ве-
личина
nn
xy / =
nn
yx ⋅)/1( есть бесконечно малая
(
)
ax
n
/1/1 → .
3) Пусть
n
x
– бесконечно большая, а
n
y
– бесконечно малая
()
0
≠
n
y
.
Тогда
nn
yx / будет бесконечно большая, так как обратная величина
nn
xy /
может быть представлена в виде произведения двух бесконечно малых
nn
xy / =
nn
yx ⋅)/1( и является, следовательно, бесконечно малой.
4) Пусть
n
x
– бесконечно большая, а
0
≠
→ by
n
. Тогда
nn
yx /
будет
бесконечно большая, так как обратная ей величина по установленному
в 1) есть бесконечно малая.
5) Пусть
n
x
и
n
y
– бесконечно малые величины. В этом случае о пре-
деле отношения
nn
yx / никакого общего заключения сделать нельзя, так как в
зависимости от характера изменения переменных
n
x и
n
y возможны различ-
ные ответы. Так, например,
а) если
0
1
→=
n
x
n
, 0
1
→=
n
y
n
, то 11→=
n
n
y
x
;
б) если
0
1
→=
n
x
n
,
0
1
2
→=
n
y
n
, то ∞→= n
y
x
n
n
;
в) если
0
1
2
→=
n
x
n
, 0
1
→=
n
y
n
, то 0
1
→=
ny
x
n
n
;
г) если
(
)
0
1
→
−
=
n
x
n
n
, 0
1
→=
n
y
n
, то
()
n
n
n
y
x
1−= предела вовсе не имеет.
Таким образом, отношение двух бесконечно малых может быть вели-
чиной бесконечно малой, бесконечно большой, может иметь пределом число,
отличное от нуля, а может и вовсе не иметь предела. Следовательно, на во-
прос о том, чему равен предел отношения бесконечно малых, можно ответить
только тогда
, когда известны законы изменения этих бесконечно малых, то
есть если бесконечно малые заданы. В связи с этим говорят, что отношение
бесконечно малых в общем случае представляет собой
неопределённость
вида
0
0
. Когда на основании исследования законов изменения данных беско-

Страницы