Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

101
Cbax
abax
dx
++=
+
∫
ln
1
.
Точно также
() ()
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin
1
cos .
Пример 8. Вычислить интеграл
∫
xdxtg .
Решение. Имеем
(
)
Cx
x
xd
dx
x
x
xdx +−=−==
∫∫∫
cosln
cos
cos
cos
sin
tg .
Отсюда, в частности, в силу формулы (3.4), следует и более общий результат:
() ()
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cosln
1
tg .
Несмотря на то, что применение обобщенной таблицы основных инте-
гралов значительно увеличивает класс функций, интегралы от которых бе-
рутся непосредственно, однако существуют многие классы функций, интег-
рирование которых не может быть выполнено только с помощью этой табли-
цы. Наша ближайшая задача и будет состоять в том, чтобы научиться интег
-
рировать как можно более широкие классы функций. Этому вопросу и будет
посвящена остальная часть п. 3.1.
3.1.3. Интегрирование методом замены переменной
или способом подстановки
Наиболее общим приемом интегрирования функций является способ
подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл
(
)
∫
dxxf (3.7)
не является табличным, но путем ряда элементарных преобразований он мо-
жет быть сведен к табличному. Замена переменной в неопределенном инте-
грале производится с помощью подстановок двух видов:
I.
(
)
tx ϕ= , где
()
tϕ – монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной
t
. Формула замены переменной в этом случае
имеет вид:
()
(
)
[
]
(
)
dtttfdxxf ϕ
′
ϕ=
∫∫
. (3.8)
Действительно, используя свойство 1 неопределенного интеграла, про-
дифференцируем обе части этого равенства. С одной стороны,
(
)
(
)
dxxfdxxfd =
∫
,
а с другой,
()
[]
()
(
)
[
]
(
)
(
)
dxxfdtttfdtttfd =ϕ
′
ϕ=ϕ
′
ϕ
∫
(так как
()
dttdx ϕ
′
= ). Таким образом, обе части формулы (3.8) имеют один и
тот же дифференциал и потому выражают собой одно и то же семейство пер-

Страницы