Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

103
++−−=
+
−+
∫
2)116(
15
2
2
132
2
2
xxx
x
xx
С.
Здесь удобно было бы также применить подстановку: 2
2
−
=
u
x
)0( >u .
Вычислите самостоятельно интеграл, используя указанную подстановку.
II. При замене переменной часто удобнее задавать не
x
как функцию от
t
, а, наоборот, задавать
t
как функцию от
x
, то есть использовать подстанов-
ку вида:
)
ψ
( x
t
=
,
где )(
x
ψ – дифференцируемая функция. Формула замены переменной при
такой подстановке имеет вид:
[
]
∫∫
=
′
dttfdxxxf )()(ψ)ψ( . (3.9)
Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид:
∫
ψ
ψ
′
)(
)(
x
dxx
. Здесь
удобно положить
t
x
=ψ )(, тогда
dtdxx
=
′
)(
,
()
()
∫
ψ
ψ
′
x
dxx
= CxCt
t
dt
+ψ=+=
∫
)(lnln ,
то есть если в подынтегральном выражении некоторого интеграла числитель
есть дифференциал знаменателя, то этот интеграл равен (с точностью до по-
стоянного слагаемого) натуральному логарифму абсолютной величины зна-
менателя.
Применим этот результат к вычислению нескольких интегралов.
Пример 3. Вычислить интеграл
∫
xdxctg .
Решение. Так как
x
x
x
sin
cos
ctg = , то интеграл можно записать в виде:
∫∫
=
x
xdx
xdx
sin
cos
ctg .
Теперь, замечая, что
x
d
x
x
d cossin = , полагаем
x
t
sin
=
. Это дает:
x
d
x
d
t
cos=
и
∫∫
=
x
xdx
xdx
sin
cos
ctg
∫∫
+=+=== CxCt
t
dt
x
xd
sinlnln
sin
sin
.
Пример 4. Вычислить интеграл dx
x
x
∫
+
3
2
1
.
Решение. Подстановка 1
3
+
=
x
t
, dx
x
d
t
2
3
=
даёт
==
+
=
+
∫∫∫
t
dt
x
dxx
dx
x
x
3
1
1
3
3
1
1
3
2
3
2
CxCt ++=+ 1ln
3
1
ln
3
1
3
.
Пример 5. Вычислить интеграл
∫
−
22
a
x
dx
)0(
≠
a .
Решение. Для вычисления этого интеграла сделаем предварительные
преобразования:

Страницы