Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

105
∫
−
=
∫
vduuvudv . (3.10)
Эта формула называется
формулой интегрирования по частям. Ме-
тод интегрирования, основанный на её применении, называется
методом ин-
тегрирования по частям
. Он сводит вычисление интеграла
∫
udv к вычис-
лению интеграла
∫
vdu
, который может оказаться более простым для интег-
рирования.
Применение метода интегрирования по частям состоит в том, что по-
дынтегральное выражение данного интеграла стараются представить в виде
произведения d
v
u ⋅ , где u и
v
– некоторые функции от
x
, причём эти
функции выбирают так, чтобы
∫
vdu был для вычисления проще, чем исход-
ный интеграл. При этом для вычисления
∫
vdu предварительно находят du и
∫
= dvv . (Точнее говоря, в качестве
v
берут одну какую-либо из искомых
первообразных функций, находимых по d
v
, так как тождество (3.10) имеет
место при любой из таких первообразных. Поэтому в дальнейшем при вы-
числении
v
постоянное С в записи будет нами опускаться).
Рассмотрим ряд примеров на применение формулы (3.10).
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
xdxarctg .
Решение. Интересной особенностью данного примера является то, что
разложение на множители u и d
v
подынтегрального выражения здесь как бы
уже дано в готовом виде и нам остается положить
x
u arctg
=
, dxd
v
= , откуда
2
1
x
dx
du
+
=
,
x
v
= .
Применяя формулу (3.10), получим
∫∫∫
+
−⋅=
+
−⋅=
22
1
2
2
1
arctg
1
arctgarctg
x
xdx
xx
x
dx
xxxxdx
Cxxx ++−= )1ln(
2
1
arctg
2
.
Далеко не всегда интегрирование по частям совершается так относи-
тельно просто, как это было в примере 1. В более сложных случаях все ис-
кусство применения формулы (3.10) заключается в том, чтобы удачно раз-
бить подынтегральное выражение на два множителя: u и d
v
, что, разумеется,
не всегда сразу удается. Например, если бы мы, пытаясь применить формулу
(3.10) к интегралу
∫
dxxe
x
, взяли
x
eu
=
,
x
dxd
v
=
, откуда
dxedu
x
=
,
2
2
1
x
v ⋅=
, то получили бы
dxexexdxxe
xxx
∫∫
−=
22
2
1
2
1
,
то есть пришли бы к еще более сложному интегралу, чем тот, от которого от-
правлялись. То же самое получится и в случае, если взять
x
x
eu = , dxd
v
=
.

Страницы