Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

107
x
u ln= , dx
x
du
1
= ,
x
u arctg= , dx
x
du
2
1
1
+
= ,
x
u arcsin= ,
dx
x
du
2
1
1
−
=
.
В результате под интегралом в правой части равенства (3.10) вместо
трансцендентной функции будет алгебраическая.
Часто формулу интегрирования по частям приходится применять по-
следовательно несколько раз.
Пример 3. Вычислить интеграл xdxx sin
2
∫
.
Решение. Пусть
2
x
u = ,
x
dxd
v
sin
=
, тогда
x
dxdu 2
=
,
x
v
cos−= . Сле-
довательно,
xdxx sin
2
∫∫
+−= xdxxxx cos2cos
2
.
К последнему интегралу опять применим правило интегрирования по
частям, полагая
x
u = ,
x
dxd
v
cos= , dxdu
=
,
x
v
sin
=
. Тогда
∫∫
++=−= Cxxxxdxxxxdxx cossinsinsincos
и окончательно получаем
∫
+++−= Cxxxxxxdxx )cossin(2cossin
22
.
Таким же образом вычисляется и интеграл
∫
xdxx cos
2
.
Иногда повторное интегрирование по частям приводит заданный инте-
грал к самому себе. В этом случае может получиться или ничего не дающее то-
ждество (значит, интегрирование было проведено нерационально), или такое
уравнение первой степени относительно искомого интеграла, из которого нахо-
дится заданный интеграл. Иллюстрируем сказанное следующим примером.
Пример 4. Вычислить интегралы bxdxeI
ax
cos
1
∫
= и bxdxeI
ax
sin
2
∫
= .
Решение. Применим метод интегрирования по частям к второму инте-
гралу. Положим bxu sin
=
, dxedv
ax
=
, отсюда bxdxbdu cos
=
,
ax
e
a
v
1
= и,
следовательно, по формуле (3.10) будем иметь
bxdxe
a
b
bxe
a
bxdxe
axaxax
cossin
1
sin
∫∫
−= .
Полученный интеграл вычисляем снова интегрированием по частям;
полагая bxu cos= , dxedv
ax
= , откуда bxdxbdu sin
−
=
,
ax
e
a
v
1
= , так что
bxdxe
a
b
bxe
a
bxdxe
axaxax
sincos
1
cos
∫∫
+= , (3.11)

Страницы