Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

108
то есть мы пришли к исходному интегралу – это обычный камень преткнове-
ния для начинающих. Может показаться, что надо искать другой способ; на
самом же деле задача почти решена. Действительно, подставляя значение
этого интеграла в предыдущее выражение, получим
=+−=
∫∫
)sincos
1
(sin
1
sin dxbxe
a
b
bxe
aa
b
bxe
a
bxdxe
axaxaxax
)cossin(
1
2
bxbbxae
a
ax
−= dxbxe
a
b
ax
∫
− sin
2
2
.
Перенося интеграл из правой части этого равенства в левую, получим
Ce
a
bxbbxa
bxdxe
a
ba
axax
+
−
=
+
∫
22
22
cossin
sin
и окончательно
Ce
ba
bxbbxa
bxdxeI
axax
+
+
−
==
∫
22
2
cossin
sin . (3.12)
Из (3.11) и (3.12) следует:
Ce
ba
bxbbxa
bxdxeI
axax
+
+
+
==
∫
22
1
sincos
cos .
Замечание 3. При интегрировании часто приходится последовательно
применять метод подстановки и метод интегрирования по частям. Покажем
это на примере.
Пример 5. Вычислить интеграл
dxe
x
∫
.
Решение. Положим здесь xt = , так что
2
t
x
=
и, значит, td
t
dx 2
=
.
Тогда получим
dxe
x
∫
dtet
t
∫
= 2.
Применим к последнему интегралу метод интегрирования по частям.
Положим,
t
u = , d
t
ed
v
t
= , так что d
t
du
=
,
t
ev
=
, откуда находим
Cetedtetedtte
ttttt
+−=−=
∫∫
)(2)(22.
Наконец, возвращаясь к переменной
x
, получаем
dxe
x
∫
Cex
x
+−= )1(2
.
3.1.5. Интегралы от некоторых функций,
содержащих квадратный трехчлен
I.
Рассмотрим интеграл
∫
+
+
=
cbxax
dx
I
2
1
.
Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, пред-
ставив его в виде суммы или разности квадратов:

Страницы