Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

110
Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Выно-
ся постоянные множители за знак интегралов, получим
∫∫
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
++
+
=
cbxax
dx
a
Ab
Bdx
cbxax
bax
a
A
I
22
2
2
2
2
.
Второй интеграл есть интеграл
1
I
, вычислять который мы умеем. В
первом интеграле сделаем замену переменной
t
cbxax
=
+
+
2
,
()
dtdxbax =+2. Следовательно,
()
CcbxaxCt
t
dt
cbxax
dxbax
+++=+==
++
+
∫∫
2
2
lnln
2
.
Таким образом, окончательно получаем
1
2
2
2
ln
2
I
a
Ab
Bcbxax
a
A
I
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++= .
Пример 2. Вычислить интеграл dx
x
x
x
I
∫
−
−
+
=
52
3
2
.
Решение. Применим указанный прием:
dx
x
x
x
I
∫
−−
+
=
52
3
2
()
=
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅++−
=
∫
dx
x
x
x
52
2
2
1
322
2
1
2
(
)
=
−
−
+
−
−
−
∫∫
52
4
52
22
2
1
22
x
x
dx
x
x
dxx
()
()
()
C
x
x
xx
x
dx
xx +
−+
−−
+−−=
−−
+−−=
∫
16
16
ln
6
1
252ln
2
1
61
452ln
2
1
2
2
2
.
III. Рассмотрим интеграл
∫
++ cbxax
dx
2
.
С помощью преобразований, рассмотренных в пункте I, этот интеграл
сводится, в зависимости от знака a , к табличным интегралам вида
∫
±
22
kt
dt
при 0>a или
∫
−
22
tk
dt
при 0
<
a , которые уже рассмотрены
в таблице интегралов (смотри формулы 11 и 14).
IV. Интеграл вида dx
cbxax
BAx
∫
++
+
2
вычисляется с помощью следующих
преобразований, аналогичных тем, которые были рассмотрены в пункте II:
dx
cbxax
BAx
∫
++
+
2
()
=
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
=
∫
dx
cbxax
a
Ab
Bbax
a
A
2
2
2
2
∫∫
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
++
+
=
cbxax
dx
a
Ab
Bdx
cbxax
bax
a
A
22
2
2
2
.
Применив к первому из полученных интегралов подстановку

Страницы