Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

112
()
()
()
(
)
()
xQ
xP
xP
xQ
xP
2
1
+= ; (3.13)
здесь
()
xP
1
– многочлен, а
(
)
()
xQ
xP
2
– правильная дробь.
Пример 1. Пусть дана неправильная рациональная дробь
12
3
2
4
+
+
−
x
x
x
.
Представить ее в виде (3.13).
Решение. Разделим числитель на знаменатель по правилу деления мно-
гочленов:
x
4
– 3 |x
2
+ 2x + 1
x
4
+ 2x
3
+ x
2
|x
2
– 2x + 3
-2x
3
– x
2
– 3 целая часть
-2x
3
– 4x
2
– 2x
3x
2
+ 2x – 3
-
3x
2
+ 6x + 3
-4x – 6
остаток
Следовательно, после выделения целой части получаем
12
64
32
12
3
2
2
2
4
+
+
+
−+−=
++
−
x
x
x
xx
x
x
x
.
Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то
основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в
интегрировании правильных рациональных дробей.
Определение 1. Правильные рациональные дроби вида:
I.
ax
A
−
,
II
.
()
k
ax
A
−
( 2≥
k
– целое положительное число),
III
.
qpxx
BAx
++
+
2
(корни знаменателя комплексные, то есть 0
4
2
<− q
p
),
IV.
(
)
k
qpxx
BAx
++
+
2
(2≥
k
– целое положительное число; корни знамена-
теля комплексные), называются
простейшими дробями I, II, III, и IV типов.
Далее будет показано, что всякую рациональную дробь можно пред-
ставить в виде суммы простейших дробей. Поэтому мы рассмотрим сначала
интегралы от простейших дробей.
Интегрирование простейших дробей типа I, II и III не составляет боль-
шой трудности, поэтому мы проведем их интегрирование без каких-либо до-
полнительных пояснений:

Страницы