Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

114
полагая
t
p
x =+
2
, d
t
dx = ,
2
2
4
m
p
q =− (по предположению корни знаменате-
ля комплексные, а следовательно,
0
4
2
>−
p
q ). Далее поступаем следующим
образом:
()
(
)
()
() ()
.
11
1
22
2
21
22
2
22
222
2
22
dt
mt
t
m
mt
dt
m
dt
mt
tmt
m
mt
dt
I
kk
kk
k
∫∫
∫∫
+
−
+
=
=
+
−+
=
+
=
−
(3.14)
Интегрируя последний интеграл по частям и подставляя полученное выраже-
ние в (3.14), получим
()
()
()
()
()
∫∫
−−
+
−
−
+
+−
=
+
=
1
22
21
22222
12
32
12
kkk
k
mt
dt
km
k
mtkm
t
mt
dt
I .
В правой части содержится интеграл того же типа, что
k
I , но показатель сте-
пени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже:
()
1−k . Таким
образом, мы выразили
k
I через
1−k
I .
Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:
C
m
t
m
m
t
dt
I +=
+
=
∫
arctg
1
22
1
.
Подставляя затем всюду вместо
t
и m их значения, получим выражения ин-
теграла IV через
x
и заданные числа
A
,
B
,
p
, q .
Итак, мы установили, что интеграл от каждой простой дроби выража-
ется через элементарные функции, или, как принято говорить, каждая про-
стая дробь может быть проинтегрирована в конечном виде. Этим исчерпыва-
ется вопрос об интегрировании простых дробей.
Разложение рациональной дроби на простейшие
Пусть нам дана правильная рациональная дробь
(
)
()
xQ
xP
1
. (3.15)
Будем предполагать, что коэффициенты входящих в неё многочленов -
действительные числа и что данная дробь несократима (последнее означает,
что числитель и знаменатель не имеют общих корней).
Пусть знаменатель
()
xQ
в (3.15) имеет вещественные корни
n
aaa ...,,,
21
соответственно, кратности
n
kkk ...,,,
21
.

Страницы