Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

116
эффициентов будет тоже
n . Коэффициенты можно определить из следую-
щих соображений. Написанное равенство (3.17) есть тождество, поэтому,
приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены
в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
x
, получим систему линейных уравнений для определения неиз-
вестных коэффициентов
i
k
i
A ,
j
e
j
M ,
j
e
j
N . Этот метод нахождения коэффи-
циентов называется
методом неопределенных коэффициентов. Можно оп-
ределить коэффициенты и другим методом:
методом частных значений.
Суть его заключается в следующем: так как многочлены, получившиеся в
правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю
должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных
значениях
x
. Придавая
x
частные значения, получим уравнения для опреде-
ления коэффициентов. Часто бывает полезно комбинировать оба метода вы-
числения коэффициентов.
Пример 2. Пусть дана дробь
()( )
21
32
2
32
2
23
2
+−
+−
=
−+
+−
xxx
xx
xxx
xx
. Разложить ее
на простейшие дроби.
Решение. На основании формулы (3.17) имеем
()( )
2121
32
2
+
+
−
+=
+−
+−
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
,
где коэффициенты
C
B
A
,, нам пока неизвестны и их численные значения
требуется определить. Умножая обе части этого тождества на общий знаме-
натель дробей, то есть на
()
(
)
21
+
−
xxx , и затем отбросив его, мы получим
тождество:
()
(
)
(
)
(
)
122132
2
−++++−=+− xCxxBxxxAxx , (3.18)
или, если раскрыть скобки и собрать члены, содержащие одинаковые степени
x
,
получим тождество
(
)
(
)
AxCBAxCBAxx 2232
22
−−++++=+− .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
в левой и пра-
вой частях этого тождества, мы получим следующую систему из трех линей-
ных уравнений относительно неизвестных
C
B
A
,,:
при
2
x
⏐ 2
=
+
+ C
B
A
,
при
x
⏐ 12
−
=
−
+ C
B
A
,
при
0
x
⏐ 32
=
−
A
.
Решая эту систему, находим
2
3
−=
A ,
3
4
=
B ,
6
13
=
C , так что искомое разло-
жение будет
()( ) ()()
26
13
13
4
2
3
21
32
2
+
+
−
+−=
+−
+−
xxxxxx
xx
.

Страницы