Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

118
и тогда
()
()
Px
Qx
dx
A
xa
dx
B
xb
dx
D
xd
dx A x a B x b D x d C
∫∫∫ ∫
=
−
+
−
++
−
=−+ −++−+... ln ln ... ln
.
II случай. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем не-
которые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на множители пер-
вой степени и некоторые из них повторяются:
()
(
)
(
)
(
)
δβα
dx...bxaxxQ −−−= .
В этом случае дробь
()
()
xQ
xP
разлагается на простейшие дроби I и II типов.
Пример 3. Найти интеграл
()()
dx
xx
x
∫
+−
+
31
1
3
2
.
Решение. Множителю
(
)
3
1−x соответствует сумма трёх простейших
дробей
()()
1
11
23
−
+
−
+
−
x
C
x
B
x
A
, а множителю (3
+
x
) – простейшая дробь
3+x
D
. Итак,
()()()()
31
1131
1
233
2
+
+
−
+
−
+
−
=
+−
+
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
.
Освободимся от знаменателя:
()
(
)
(
)
(
)
(
)()
32
2
1313131 −++−++−++=+ xDxxCxxBxAx .
Для определения неизвестных коэффициентов
DC
B
A
,,, будем комбиниро-
вать метод частных значений и метод неопределенных коэффициентов.
Для определения коэффициентов
A
и D применим метод частных зна-
чений. Для этого нужно придать
x
два частных значения. Особенно удобно
придавать
x
значения, являющиеся действительными корнями знаменателя.
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и -3. Полагая 1
=
x
,
получаем
A
42 = , то есть 2
/
1
=
A
. При 3
−
=
x
имеем D6410 −= , то есть
32
/
5−=D .
Для определения коэффициента
C воспользуемся методом неопреде-
ленных коэффициентов. Сравним коэффициенты при старшей степени
x
, то
есть при
3
x
. В левой части нет члена с
3
x
, то есть коэффициент при
3
x
равен 0.
В правой части коэффициент при
3
x
равен DC
+
. Итак, DC + =0, откуда
32
/
5=C .
Остается определить коэффициент
B
. Для этого необходимо иметь ещё
одно уравнение. Это уравнение можно получить путём сравнения коэффици-
ентов при одинаковых степенях
x
(например, при
2
x
) или придав
x
какое-
нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вы-
числений будет возможно меньше. Полагая, например, 0
=
x
, получаем

Страницы