Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

120
В этом случае разложение дроби
(
)
()
xQ
xP
будет содержать и простейшие
дроби IV типа.
Пример 5. Вычислить интеграл
()
dx
x
xx
∫
+
−
2
2
3
1
2
.
Решение. Так как 1
2
+
x
есть двукратный множитель, то
()()
1
11
2
22
2
2
2
3
+
+
+
+
+
=
+
−
x
DCx
x
BAx
x
xx
.
Освобождаясь от знаменателя, получим
()
(
)
12
23
++++=− xDCxBAxxx .
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
x
:
3
x
⏐
C
=1,
2
x
⏐ D=0,
x
⏐
C
A
+=− 2; 3
−
=
A
,
0
x
⏐ D
B
+
=0 ; 0=
B
.
Следовательно,
() ()
=
+
+
+
−
=
+
−
∫∫∫
1
1
3
1
2
22
2
2
2
3
x
xdx
x
xdx
dx
x
xx
(
)
()
(
)
=
+
+
+
+
+
−
∫∫
1
1
2
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2
x
xd
x
xd
()
(
)
Cx
x
+++
+
= 1ln
2
1
12
3
2
2
.
Заметим, что данный интеграл можно было найти проще с помощью
подстановки
t
x
=+1
2
.
Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной
функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде,
а именно:
1)
через логарифмы – в случае простейших дробей I типа;
2)
через рациональные функции – в случае простейших дробей II типа;
3)
через логарифмы и арктангенсы – в случае простейших дробей III
типа;
4)
через рациональные функции и арктангенсы – в случае простейших
дробей IV типа.
3.1.7. Интегралы от иррациональных функций
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через
элементарные функции. В п. 3.1.7 мы рассмотрим некоторые иррациональ-
ные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к
интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегри-
руются.

Страницы